Abstand Punkt Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mi 01.09.2021 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand des Punktes P [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm] zur Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm]
3 LE beträgt? |
Moin Moin,
dies ist eine Aufgabe aus dem Hilfsmittelfreien Teil der Abiturprüfung. Diese Teilaufgabe bringt 2 Bewertungspunkte.
Meine Ideen sind [schon in Anbetracht der 2 Bewertungspunkte] m.E. viel zu kompliziert und zu zeitaufwändig [habe jetzt 20-30 min gebraucht (!)].
Hat jemand eine Idee, wie man hier einfacher zur Lösung kommt???
Lösungsweg über Hilfsebene
I. Hilfsebene in Normalenform aufstellen. Sie ist orthogonal zu g und enthält den Punkt P.
H: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1})* \vektor{ -1 \\ 0 \\ 2} [/mm] = 0
-x + 2 z = -a +2
II. g in H einsetzen, um den Lotfußpunkt zu erhalten.
II.I. r berechnen
-(1-r) +2*(0+2*r) = -a + 2
-1 +r + 4r = -a + 2
5r = -a +3
r = [mm] \bruch{-a+3}{5}
[/mm]
II.II. Lotfußpunkt L berechnen
=> [mm] \overrightarrow{OL} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] (\bruch{-a+3}{5})*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm]
= [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5}} [/mm]
III. Abstand bzw. Betrag zwischen P und dem Lotfußpunkt
III.I. Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] bilden
[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OL} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OP}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5}} [/mm] - [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm]
[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{1 + \bruch{a-3}{5} -a \\ 2 \\ \bruch{-2a+6}{5} -1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{5+a-3-5a}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+6-5}{5}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PL} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-4a+2}{5} \\ 2 \\ \bruch{-2a+1}{5}}
[/mm]
III.II. a berechnen, so dass der Abstand bzw. die Länge bzw. der Betrag des Verbindungsvektors [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] 3 LE beträgt.
[mm] |\overrightarrow{PL}| [/mm] = [mm] \wurzel{(\bruch{-4a+2}{5})^2 + 2^2 + (\bruch{-2a+1}{5})^2} [/mm] = 3
= [mm] \wurzel{\bruch{16a^2-16a+4}{25} + 2^2 + \bruch{4a^2-4a+1}{25}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{20a^2-20a+5}{25} + 4 } [/mm] = 3
= [mm] {20a^2-20a+5}{25} [/mm] + 4 = 9
= [mm] {20a^2-20a+5}{25} [/mm] -5 = 0
= [mm] 20a^2 [/mm] -20a +5 -125 = 0
= [mm] 20a^2 [/mm] -20a -120 = 0
= [mm] a^2 [/mm] -a -6 = 0
pq-Formel
[mm] a_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{-1}{2})^2 - (-6)}
[/mm]
[mm] a_1 [/mm] = 3
[mm] a_2 [/mm] = -2.
[ [mm] P_1 [/mm] ( 3 / 0 / 1) bzw. [mm] P_2 [/mm] (-2 / 0 / 1) haben von g den Abstand 3.]
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Hiho,
also bei meiner Abiturprüfung sollte sowas dann mithilfe der ![[]](/images/popup.gif) Hesseschen Normalform gelöst werden.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 02.09.2021 | | Autor: | hase-hh |
Die Hessesche Normalenform benutze ich bei Abständen zwischen einem Punkt und einer Ebene.
Hier ist aber der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gesucht.
Anders gefragt: Wie soll das gehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Do 02.09.2021 | | Autor: | fred97 |
> Die Hessesche Normalenform benutze ich bei Abständen
> zwischen einem Punkt und einer Ebene.
>
> Hier ist aber der Abstand zwischen einem Punkt und einer
> Geraden gesucht.
>
> Anders gefragt: Wie soll das gehen?
Hallo hase,
schau mal hier:
https://studyflix.de/mathematik/abstand-punkt-gerade-2006
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Do 02.09.2021 | | Autor: | hase-hh |
Danke Fred! Interessante Formel. :)
d = [mm] \bruch{|(\vec{p} -\vec{q})x\vec{u}|}{|\vec{u}|}
[/mm]
[mm] \vec{p} [/mm] ist der Punkt P
[mm] \vec{q} [/mm] ist der Aufpunkt bzw. Stützvektor der Geraden
[mm] \vec{u} [/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden
3 = [mm] \bruch{|(\vektor{a \\ 0 \\ 1} -\vektor{1 \\ 2 \\ 0})x\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|}{|\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|}
[/mm]
3 = [mm] \bruch{|\vektor{a -1\\ -2 \\ 1}x\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}|}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}}
[/mm]
Kreuzprodukt
a-1 -1
-2 0
-2*2 - 1*0
1 2
1*(-1) - (a-1)*2
a-1 -1
(a-1)*0 - (-2)*(-1)
-2 0
1 2
=> [mm] \vektor{-4\\ -2a +1 \\ -2 }
[/mm]
3 = [mm] \bruch{|\vektor{-4\\ -2a +1 \\ -2 }|}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}}
[/mm]
3 = [mm] \bruch{\wurzel{(-4)^2 +(-2a +1)^2 +(-2)^2}}{ \wurzel{(-1)^2+0^2 +2^2}}
[/mm]
3 = [mm] \bruch{\wurzel{20 +(-2a +1)^2}}{ \wurzel{5}}
[/mm]
9 = [mm] \bruch{20 +(-2a +1)^2}{5}
[/mm]
25 = (-2a [mm] +1)^2
[/mm]
[mm] \pm [/mm] 5 = -2a +1
[mm] a_1 [/mm] = -2
[mm] a_2 [/mm] = 3.
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> Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand des Punktes P [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 1}[/mm] zur Geraden g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
> 3 LE beträgt?
>
Gehe einen beliebigen Vektor [mm]\vec{y}[/mm] von g zu P:
[mm]\vec{y} = [/mm][mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm] - [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 1}[/mm]= [mm]\vektor{1-a \\ 2 \\ -1}[/mm] + [mm]r*\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm] = [mm]\vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1}[/mm] Mit r sind alle möglichen solche Vektoren erfasst.
Welcher steht senkrecht auf g? (Skalarprodukt bilden) (Lösung: a=3-5r)
Welcher davon hat Länge 3? (Länge berechnen) (Lösung: r=0 oder r=1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 02.09.2021 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank! Auch dieser Weg dürfte einfacher sein. ^^
I. Vektor von g zu P aufstellen
quasi g minus P
$ [mm] \vec{y} [/mm] = $$ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $ - $ [mm] \vektor{a \\ 0 \\ 1} [/mm] $= $ [mm] \vektor{1-a \\ 2 \\ -1} [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}\vektor{ - 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1} [/mm] $
II. Welcher Vektor steht von diesen Vektoren senkrecht auf g?
Skalarprodukt bilden und dann a bestimmen.
[mm] \vec{y}x\vec{u} [/mm] = 0
[mm] \vec{u} [/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden.
[mm] \vektor{1-a -r\\ 2 \\ 2r - 1}*\vektor{-1\\ 0 \\ 2} [/mm] = 0
-1 +a +r +4r -2 = 0
a = 3 -5r
III.
a in [mm] \vec{y} [/mm] einsetzen
[mm] \vektor{1-(3-5r) -r\\ 2 \\ 2r - 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-2+4r\\ 2 \\ 2r - 1}
[/mm]
IV. r berechnen, so dass die Länge von [mm] \vec{y} [/mm] 3 ist.
[mm] \wurzel{(-2+4r)^2 +2^2+(2r-1)^2} [/mm] = 3
[mm] (-2+4r)^2 +2^2+(2r-1)^2 [/mm] = 9
4 -16r + [mm] 16r^2 [/mm] +4 + [mm] 4r^2 [/mm] -4r +1 = 9
[mm] 20r^2 [/mm] -20r = 0
=> [mm] r_1 [/mm] = 0 und [mm] r_2 [/mm] = 1
bzw. [mm] a_1 [/mm] = 3 - 5*0 =3
[mm] a_2 [/mm] = 3 -5*1 = -2.
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