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Hallöchen
Ich habe eine Anwendung von Hahn-Banach, die ich nicht ganz verstehe. Zuerst ein wenig Notation. Sei [mm] $(E,\mathcal{E},\mu)$ [/mm] ein endlicher Massraum. Mit [mm] $L^0$ [/mm] bezeichne ich die Äquivalenzklasse von allen messbaren reellwertigen Funktionen [mm] $f:E\to\mathbb{R}$, [/mm] die [mm] $\mu$-f.s. [/mm] übereinstimmen. Man kann zeigen, dass dies ein Vektorraum ist.
Nun habe ich eine Abbildung [mm] $\phi:L^0\to \mathbb{R}$, [/mm] für die gilt: [mm] $\phi(f+c)=\phi(f)-c$ [/mm] wobei $c$ eine reelle Zahl ist, [mm] $\phi(f+g)\le \phi(f)+\phi(g)$, [/mm] für [mm] $f\ge [/mm] g$ haben wir [mm] $\phi(f)\le \phi(g)$ [/mm] und für [mm] $\lambda\ge [/mm] 0$ gilt [mm] $\phi(\lambda f)=\lambda\phi(f)$. [/mm] Ich definiere nun [mm] $\theta(Y):=\phi(-Y)$. [/mm] Es gilt [mm] $\theta(1)=1$ [/mm] und [mm] $\theta(f)\le [/mm] 0 $ für [mm] $f\le [/mm] 0$. Wieso existiert dann ein lineares Funktional (nach Hahn-Banach) [mm] $F:L^0\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $F(1)=\theta(1)=1$ [/mm] und [mm] $F(f)\le \theta(f)$ [/mm] für alle [mm] $f\in L^0$?
[/mm]
Danke und Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 07.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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