Berechnen von Summen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 14.11.2011 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | Berechenen Sie mit Hilfe des Binomialsatzes folgende Summe:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k *\vektor{n \\ k}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie k * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n * [mm] \vektor{n-1\\ k-1} [/mm] (für n,k [mm] \in \IN) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsversuch:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}n [/mm] * [mm] \vektor{n-1\\ k-1} [/mm] = n * [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n-1\\ k-1} [/mm] = n * [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{n * (n-1)!}{(k-1)! * ((n-1)-(k-1))!} [/mm] = n * [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{(k-1)! * (n-k-2)!} [/mm]
Ist das soweit richtig? und wie geh ich jetzt am besten weiter vor?
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Hallo HannSG,
das geht doch viel einfacher.
> Berechenen Sie mit Hilfe des Binomialsatzes folgende
> Summe:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k *\vektor{n \\
k}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie k * [mm]\vektor{n \\
k}[/mm] = n * [mm]\vektor{n-1\\
k-1}[/mm] (für n,k [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Mein Lösungsversuch:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm] * [mm]\vektor{n \\
k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}n[/mm] * [mm]\vektor{n-1\\
k-1}[/mm] = n * [mm]\summe_{k=1}^{n}\vektor{n-1\\
k-1}[/mm]
Soweit der Tipp. Jetzt platt auszumultiplizieren erschwert nur die Arbeit. Mach lieber eine Indexverschiebung mit j=k-1. Dann läuft die Summe von j=0 bis n-1. Und diese Summe sollte Dir definitiv bekannt vorkommen. Es ist die Summe aller Binomialkoeffizienten vom Grad n-1.
> = n * [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{n * (n-1)!}{(k-1)! * ((n-1)-(k-1))!}[/mm]
> = n * [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{(k-1)! * (n-k-2)!}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? und wie geh ich jetzt am besten
> weiter vor?
Erstmal lächeln. Das hilft immer.
Und dann von oben weitermachen, wie vorgeschlagen. Das Ergebnis lässt sich mit 5 Zeichen schreiben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 15.11.2011 | | Autor: | HannSG |
Hallo,
> Erstmal lächeln. Das hilft immer.
*lächel* - Danke :)
Lg Hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 15.11.2011 | | Autor: | HannSG |
Bei mir wirkt das lächeln nur bedingt ;)
Ich habe jetzt die Indexverschiebung gemacht und habe somit n * [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ i} [/mm] erhalten.
Durch umformen komme ich dann auf n* [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{(n-1)!}{i! * ((n-1)-i)!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{n!}{i! * ((n-1)-i)!}
[/mm]
Ist das soweit richtig und wie geh ich jetzt am besten weiter vor?
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Hallo HannSG,
> Bei mir wirkt das lächeln nur bedingt ;)
>
> Ich habe jetzt die Indexverschiebung gemacht und habe somit
> n * [mm]\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ i}[/mm] erhalten.
>
> Durch umformen komme ich dann auf n*
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{(n-1)!}{i! * ((n-1)-i)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{n!}{i! * ((n-1)-i)!}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig und wie geh ich jetzt am besten
> weiter vor?
Lass die Summe nach der Indexverschiebung so stehen.
Die Summe kann jetzt so geschrieben werden:
[mm]n * \summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ i}=n * \summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n-1 \\ i}1^{i}*1^{n-i}[/mm]
Und das ist nach dem binomischen Satz ...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 15.11.2011 | | Autor: | HannSG |
Danke. Ich verstehe nur nicht woher ich wissen soll, dass ich eine Indexverschiebung machen muss.
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