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binomischer_Lehrsatz
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binomischer Lehrsatz

Die allgemeine Binomische Formel

Die binomische Formel ist nur ein Spezialfall des sogenannten Binomischen Lehrsatzes oder auch der allgemeinen Binomischen Formel.
Mit ihr ist es möglich, den Term

$ (a+b)^n $


relativ leicht auszumultiplizieren.

Sie lautet:

$ (a+b)^n=\summe_{i=0}^{n}{{n \choose i}\cdot a^{n-i}\cdot b^i} $


Die Herleitung

$ (a+b)^n= \overbrace{(a+b)\cdot (a+b)\dots(a+b)}^{n-mal} $

Wollen wir diese $ n $ Klammern ausmultiplizieren, so können wir bei jeder von ihnen zwischen $ a $und $ b $ wählen. Wenn wir für alle $ n $ Klammern entweder $ a $ oder $ b $ gewählt haben, so erhalten wir den Term $ a^{n-i}\cdot b^i $ - das $ i $ bedeutet, dass wir $ i $ mal $ b $, und $ n-i $ mal $ a $ gewählt haben.
Es bleibt nun noch zu überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau $ i $ mal $ b $ und $ n-i $ mal $ a $ zu wählen. Diese Anzahl liefert der Binomialkoeffizient $ {n\choose i} $. Er gibt bekanntlich die Anzahl der Möglichkeiten an, $ k $ aus $ n $ Objekten auszuwählen. $ k $ ist in diesem Falle $ i $ und $ n $ ist die Anzahl der Klammern. D.h. also er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, $ k $ aus den $ n $ Klammern auszuwählen, in denen wir $ b $ wählen. (Das ist äquivalent zu $ {n\choose n-i} $, da die Binomialkoeffizienten symmetrisch sind).

Damit ist der Satz auch schon fast erklärt, fehlt nur noch die Aufsummierung aller Werte für $ i\in [0;n] $. Dies ist klar, denn schließlich wollen wir alle Auswahlmöglichkeiten durchlaufen.

Es ergibt sich also insgesamt der Binomische Lehrsatz
$ (a+b)^n=\summe_{i=0}^{n}{{n \choose i}\cdot a^{n-i}\cdot b^i} $.


Die 1. und 2. ((Binomische Formel))

Man sieht hieran auch, dass die erste und zweite binomische Formel nur ein Spezialfall für $ n=2 $ ist:

$ (a+b)^2=\summe_{i=0}^{2}{{2 \choose i}\cdot a^{2-i}\cdot b^i}={2\choose 0}\cdot a^2\cdot b^0+{2\choose 1}\cdot a^1\cdot b^1+{2\choose 2}\cdot a^0\cdot b^2=a^2+2ab+b^2 $.

Für die zweite Binomische Formel gilt Analoges, nur mit dem Unterschied, dass $ b $ ein anderes Vorzeichen hat, was sich allerdings wegen des Quadrates in Glied 1 und 3 nur im 2. bemerkbar macht:
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $

Häufig benötigt man auch diese Formel:
$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $
Die Koeffizienten ergeben sich aus dem [link]Pascalschen Dreieck.

Erstellt: Di 05.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Fr 02.11.2012 um 07:06 von Marc
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