matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenBestimmt von Extrempunkten
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bestimmt von Extrempunkten
Bestimmt von Extrempunkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bestimmt von Extrempunkten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 12.02.2016
Autor: Canibus

Aufgabe
Stationäre Punkte

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und Sattelpunkte:

d) z = [mm] 3x^{2}y [/mm] + [mm] 4y^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] 12y^{2} [/mm] + 1

[mm] z_{x} [/mm] = 6xy - 6x
[mm] z_{y} [/mm] = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 12y^{2} [/mm] - 24y
[mm] z_{xx} [/mm] = 6y-6
[mm] z_{xy} [/mm] = 6y
[mm] z_{yx} [/mm] = 6x
[mm] z_{yy} [/mm] = 24y - 24

z'' = [mm] \pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 } [/mm]

Notw. Bedingung:

[mm] z_{x} [/mm] = 0
6xy - 6x = 0
x(6y-6) = 0
x = 0 v 6y-6 = 0
x = 0 v y = 1

Für x = 0:

[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 12y^{2} [/mm] - 24y = 0
y(12y-24) = 0
y = 0 v 12y - 24 = 0
y = 0 v y = 2

Für y = 1

[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 3x^{2} [/mm] - 12 = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 4 = 0
[mm] x^{2} [/mm] = 4
x = 2 v x = -2

f''(0,0) = [mm] \pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 } [/mm]
f''(0,2) = [mm] \pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 } [/mm]
f''(2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 } [/mm]
f''(-2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 } [/mm]

Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der Matrizen zu bestimmten.
Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch. Wie bestimme ich hier die Definitheit, um daraus Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes schließen zu können?

Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen,
Canibus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Fr 12.02.2016
Autor: Canibus

Eine Matrix ist A ist genau dann positiv definit, wenn die symmetrische Matrix A + [mm] A^{T} [/mm] positiv definit ist.

Damit lässt sich das Problem der Definitheit unsymmetrischer Matrizen lösen!

Bezug
                
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Über die Eigenwerte gehts auch!!

Bezug
        
Bezug
Bestimmt von Extrempunkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Fr 12.02.2016
Autor: fred97


> Stationäre Punkte
>  
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres
> natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und
> Sattelpunkte:
>  
> d) z = [mm]3x^{2}y[/mm] + [mm]4y^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] - [mm]12y^{2}[/mm] + 1
>  [mm]z_{x}[/mm] = 6xy - 6x
>  [mm]z_{y}[/mm] = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]12y^{2}[/mm] - 24y
>  [mm]z_{xx}[/mm] = 6y-6
>  [mm]z_{xy}[/mm] = 6y
>  [mm]z_{yx}[/mm] = 6x
>  [mm]z_{yy}[/mm] = 24y - 24
>  
> z'' = [mm]\pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 }[/mm]
>  
> Notw. Bedingung:
>  
> [mm]z_{x}[/mm] = 0
>  6xy - 6x = 0
>  x(6y-6) = 0
>  x = 0 v 6y-6 = 0
>  x = 0 v y = 1
>  
> Für x = 0:
>  
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
>  [mm]12y^{2}[/mm] - 24y = 0
>  y(12y-24) = 0
>  y = 0 v 12y - 24 = 0
>  y = 0 v y = 2
>  
> Für y = 1
>  
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
>  [mm]3x^{2}[/mm] - 12 = 0
>  [mm]x^{2}[/mm] - 4 = 0
>  [mm]x^{2}[/mm] = 4
>  x = 2 v x = -2
>  
> f''(0,0) = [mm]\pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 }[/mm]
>  f''(0,2) = [mm]\pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 }[/mm]
>  
> f''(2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 }[/mm]
>  f''(-2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 }[/mm]
>  
> Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der
> Matrizen zu bestimmten.
> Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch.




Dann hast Du Dich irgendwo verrechnet. Die Funktion z ist 2 mal stetig differenzierbar,  somit ist die Hessematrix in jedem Punkt symmetrisch

Fred






Wie

> bestimme ich hier die Definitheit, um daraus
> Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes
> schließen zu können?
>  
> Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
>  
> Mit freundlichen Grüßen,
>  Canibus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]