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hallo!!Wieder mal eine neue Frage  !!
Es habe f:[a,b] --> R bei b ein lokales Maximum, d.h es gibt ein [mm] \alpha [/mm] >0 mit f(b) [mm] \ge [/mm] f(x) für alle x element [mm] (b-\alpha,b). [/mm] Beweisen sie: Ist f differenzierbar bei b, so gilt f'(b) [mm] \ge [/mm] 0!!!!
Meine Gedanken:
Habe mir eine Skizze gezeichnet und die Steigung bei b berechnet!!
f'(b)= [mm] \limes_{b\to \alpha}[f(b)-f(\alpha)]/(b-\alpha)
[/mm]
ich weiß ja: [mm] f(b)-f(\alpha) \ge [/mm] 0 und dass [mm] b\ge \alpha [/mm] oder???
=> wenn [mm] b=\alpha [/mm] => f'(b)=0 ansonsten f'(b)>0
bitte um korrektur!!!
Grüße daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Daniel!
Es wäre nett, wenn du konsequent unser Formelsystem verwenden würdest. Danke!
Bei deinem Beweis geht ein bisschen was durcheinander, versuchen wir es mal zu entwirren:
> Es habe f:[a,b] --> R bei b ein lokales Maximum, d.h es
> gibt ein [mm]\alpha[/mm] >0 mit f(b) [mm]\ge[/mm] f(x) für alle x element
> [mm](b-\alpha,b).[/mm] Beweisen sie: Ist f differenzierbar bei b, so
> gilt f'(b) [mm]\ge[/mm] 0!!!!
>
> Meine Gedanken:
>
> Habe mir eine Skizze gezeichnet und die Steigung bei b
> berechnet!!
>
> f'(b)= [mm]\limes_{b\to \alpha}[f(b)-f(\alpha)]/(b-\alpha)
[/mm]
Da stimmt nicht, $b$ ist ja fest, und [mm] $\alpha$ [/mm] läuft. Richtig muss es so heißen:
$f'(b) = [mm] \limits\lim_{h \downarrow 0, \ h \ne 0} \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$.
[/mm]
Für [mm] $h<\alpha$ [/mm] gilt nun nach Voraussetzung:
$f(b) - f(b-h) [mm] \ge [/mm] 0$.
Daraus folgt für $h [mm] \in ]0,\alpha[$:
[/mm]
[mm] $\frac{f(b) - f(b-h)}{h} \ge [/mm] 0$
und daher beim Übergang zum Grenzwert auch:
$f'(b) = [mm] \limits\lim_{h \to 0, \ h \ne 0} \frac{f(b) - f(b-h)}{h} \ge [/mm] 0$.
> ich weiß ja: [mm]f(b)-f(\alpha) \ge[/mm] 0 und dass [mm]b\ge \alpha[/mm]
> oder???
Das ist aber nicht das gleiche [mm] $\alpha$ [/mm] wie in der Aufgabenstellung!
> => wenn [mm]b=\alpha[/mm] => f'(b)=0 ansonsten f'(b)>0
Nein. Für [mm] $\alpha=b$ [/mm] wäre der Quotient gar nicht definiert, und ansonsten muss er auch nicht strikt positiv sein.
Ich habe dir den Beweis ja oben vorgemacht. Frag nach, wenn was unklar ist. Und benutze dabei bitte bei jeder Formel das Formelsystem - Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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