Beweis: Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, schon ein Teil gelöst, komme jedoch an einer Stelle nicht weiter. Wäre supper wenn mir jemand helfen könnte. =) Das ist die besagte Stelle:
z.z
[mm] x\in\IR [/mm] 0<x<1
[mm] \exists [/mm] Folge [mm] 1
so dass [mm] x=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}
[/mm]
jetzt möchte ich zeigen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}<1 [/mm] ist.
Wenn ich probiere bekomme ich raus, dass die Summe niemals 1 übersteigt. Aber wie zeige ich das formal? Kann ich die geometrische Reihe verwenden oder anders wie abschätzen?
liebe Grüße und guten Start in die Woche! =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Niladhoc |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe hier eine Aufgabe, schon ein Teil gelöst, komme
> jedoch an einer Stelle nicht weiter. Wäre supper wenn mir
> jemand helfen könnte. =) Das ist die besagte Stelle:
>
> z.z
>
> [mm]x\in\IR[/mm] 0<x<1
>
> [mm]\exists[/mm] Folge [mm]1
>
> so dass [mm]x=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}[/mm]
>
>
> jetzt möchte ich zeigen, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}<1[/mm]
> ist.
Hast Du schon gezeigt, dass es eine Teilfolge [mm] (n_k) [/mm] von (n) gibt mit:
[mm]x=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}[/mm]
??? Oder mußt Du das noch zeigen ? Wenn Du das schon gezeigt hast, so ist doch klar, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}}<1[/mm] ist, denn x<1
FRED
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> Wenn ich probiere bekomme ich raus, dass die Summe niemals
> 1 übersteigt. Aber wie zeige ich das formal? Kann ich die
> geometrische Reihe verwenden oder anders wie abschätzen?
>
> liebe Grüße und guten Start in die Woche! =)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
erstmal vielen lieben Dank für die schnellen Antworten.
Wie zeige ich denn, dass es eine solche Teilfolge gibt? Ich habe sowas noch nicht gemacht, kannst du mir erklären, wie das geht?
Liebe Grüße und vielen Dank schonmal
friekeline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 15.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) weisst du, dass die harmonische Reihe divergiert? also wenn du [mm] n_k=k [/mm] setzt?
b) kennst du eine Reihe, die sicher konvergiert? (erstmal egal ob gegen 1 oder 17. Du hast doch gesagt, du hast eine probiert, was hast du da für die [mm] n_k [/mm] genommen?
Wenn du eine reihe kennst die konvergiert, versuch dadurch die [mm] n_k [/mm] zu bestimmen.
Gruss leduart
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Hm. Also die harmonische Reihen kenn ich noch nicht. Kamm noch nicht in der Vorlesung dran.
Ich habe für [mm] n_{k} [/mm] die natürliche Zahlen >1 eingesetzt wie die Aufgabe halt besagt.
Dann habe ich [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+... [/mm] gerechnet und vermutet, dass es immer unter 1 bleibt.
Aber es fehlt mir irgendwie der formale Beweis für meine Vermutung.
Könnte bzw. sollte ich vllt die Summen irgendwie auseinander ziehen? (Im Sinne von Partialsummen?)
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Hallo friekeline,
> Hm. Also die harmonische Reihen kenn ich noch nicht. Kamm
> noch nicht in der Vorlesung dran.
Aha. Das ist gerade die Reihe [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\cdots, [/mm] also [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
> Ich habe für [mm]n_{k}[/mm] die natürliche Zahlen >1 eingesetzt
> wie die Aufgabe halt besagt.
> Dann habe ich [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...[/mm]
> gerechnet und vermutet, dass es immer unter 1 bleibt.
Hm. Rechne mal nach: [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}=\bruch{6}{12}+\bruch{4}{12}+\bruch{3}{12}=\bruch{13}{12}>1
[/mm]
Die harmonische Reihe wächst über alle Grenzen.
> Aber es fehlt mir irgendwie der formale Beweis für meine
> Vermutung.
>
> Könnte bzw. sollte ich vllt die Summen irgendwie
> auseinander ziehen? (Im Sinne von Partialsummen?)
Nö, überleg mal anders herum. Nehmen wir mal die Zahl [mm] \bruch{1}{e}=0,36787944\cdots [/mm] und stellen sie so dar wie gefordert.
Dazu gehen wir die Kehrwerte der natürlichen Zahlen der Reihe nach durch. Immer wenn einer kleiner ist als der darzustellende Rest, nehmen wir in mit in die Lösung auf und verkleinern den Rest entsprechen.
1 und 2 gehen erstmal nicht, aber die 3. Bleibt noch [mm] \bruch{1}{e}-\bruch{1}{3}=0,03454610\cdots
[/mm]
Dann geht erst die 29 wieder und es bleiben [mm] \bruch{1}{e}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{29}=0,000063349
[/mm]
Als nächstes wird erst die 15786 gehen, aber da höre ich mal auf.
In dieser Weise kannst Du doch jede der betreffenden Zahlen annähern.
Das ist zwar unmittelbar einsichtig, aber zeigen musst Du es trotzdem noch.
Viel Erfolg,
reverend
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Hallo und vielen Dank für die vielen Antworten, ihr helft mir wirklich sehr!
Laut Aufgabe soll 0< [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}} [/mm] <1 sein.
Den teil mit 0< [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}} [/mm] finde ich logisch, da ja durch positive [mm] \bruch{1}{n_{k}} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] auch die [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}>0 [/mm] ist.
Aber wenn nun für [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}} [/mm] <1 das gar nicht geht, wie du es in deinem beispiel gezeigt hast....
allerdings steht in der Aufgabe auch "dann gibt es eine Folge [mm] 1
also muss es ja nur irgendeine Folge sein, oder?
Kann ich dann einfach eine Folge nehmen, bei der das geht? das mit dem e haben wir noch nicht definiert, ich weiß daher nicht, ob ich das benutzen darf...
Gibt es nicht eine Möglichkeit das so ähnlich zu machen, wie ich es mit der [mm] 0<\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}} [/mm] gemacht habe? Ich komme da einfach nicht weiter und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Vielen lieben Dank
friekeline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 15.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht darauf geantwortet, ob du Reihen kennst, die konvergieren.
2. 1+1/2+1/3 usw wird beliebig gross!
du musst deine [mm] n_k [/mm] deshalb viel schneller wachsen lassen als 1,2,3
( jed 2 te oder 10te oder so zu nehmen hilft auch nix, dann wirds immer noch viel zu schnell gross. also müssen die [mm] n_k [/mm] sehr schnell wachsen.
Fällt dir da wirklich keine Reihe ein?
meist nimmt man die als eine der ersten durch.
Gruss leduart
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Hallo,
ich kenne Folgen die konvergieren. (Tut mir leid, hab ich vergessen zurück zu schreiben.) Reihen haben wir gerade erst begonnen, aber ich habe versucht mich selber ein wenig einzulesen... ich weiß, dass eine Reihe eine Folge von Partialsummen ist...
also wenn ich die [mm] n_{k} [/mm] schneller wachsen lassen muss, damit sie nicht zu groß werden und nicht über 1 kommen, könnte ich nicht quadrieren, oder hoch 100 oder sowas? meist du das???
(Wir haben in der Vorlesung leider kaum Beispiele =( aber vllt kommen die noch.)
Vielen Dank für die Hilfe =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 15.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, du bist auf dem richtigen Weg.
dass 0.111111111...<1 ist weisst du. kannst du das als Summe von Brüchen mit 1 im Zähler und nätürliche Zahlen im Nenner schreiben?
Gruss leduart
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Hallo nochmal,
> Hallo und vielen Dank für die vielen Antworten, ihr helft
> mir wirklich sehr!
Das ist ja Sinn dieses Forums. 
> Laut Aufgabe soll 0< [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}[/mm]
> <1 sein.
> Den teil mit 0< [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}[/mm] finde
> ich logisch, da ja durch positive [mm]\bruch{1}{n_{k}}[/mm] mit
> [mm]n\in\IN[/mm] auch die [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}>0[/mm]
> ist.
Jo, klar.
> Aber wenn nun für [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}[/mm] <1
> das gar nicht geht, wie du es in deinem beispiel gezeigt
> hast....
Das habe ich nicht gezeigt. Ich habe nur gezeigt, dass die Summe auch >1 sein kann. Solche Fälle musst Du natürlich ausschließen.
> allerdings steht in der Aufgabe auch "dann gibt es eine
> Folge [mm]1
> also muss es ja nur irgendeine Folge sein, oder?
Im Prinzip ja. Du musst aber zeigen, dass sie die Bedingungen erfüllt, und dazu womöglich angeben, wie man sie konstruiert.
> Kann ich dann einfach eine Folge nehmen, bei der das geht?
Wenn Du eine weißt, ja.
> das mit dem e haben wir noch nicht definiert, ich weiß
> daher nicht, ob ich das benutzen darf...
Oh, das war nur ein Beispiel. Dann nimm halt [mm] x=2\wurzel{2}-1=0,82842712\cdots, [/mm] das dürft Ihr bestimmt schon verwenden.
Dann ist mit der gleichen Methode [mm] x=\bruch{1}{\blue{2}}+0,32842712\cdots=\bruch{1}{\blue{2}}+\bruch{1}{\blue{4}}+0,07842712\cdots=\bruch{1}{\blue{2}}+\bruch{1}{\blue{4}}+\bruch{1}{\blue{13}}+0,00150404\cdots
[/mm]
Die ersten Zahlen der gesuchten Folge sind hier 2,4,13, die nächste wäre die 665.
Der Witz an der Sache ist (nebenbei), dass für rationale x die entsprechende Folge endlich ist (bei dieser Konstruktion), und für irrationale unendlich. Aber das tut hier nichts zur Sache.
> Gibt es nicht eine Möglichkeit das so ähnlich zu machen,
> wie ich es mit der $ [mm] 0<\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}} [/mm] $
> gemacht habe? Ich komme da einfach nicht weiter und hoffe,
> dass mir jemand helfen kann.
Tja, das versuche ich Dir eigentlich gerade vorzumachen.
> Vielen lieben Dank
> friekeline
Hoffe, Du kannst was damit anfangen.
Grüße
reverend
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Hallo noch mal!
Vielen Dank euch beiden!
ich glaube ich könnte die Formel [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{10^k} [/mm] nehmen, oder?? das ist doch sowas wie ein b-adischer bruch oder?? mit b=10 (wir hatten da bislang nur die definition, daher kenne ich mich damit noch nicht so gut aus).
Wenn ich also das als Folge nehme sind die [mm] 10^{k} [/mm] ja aus N und die sache passt...
vielen lieben dank
friekeline
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Hallo,
> ich glaube ich könnte die Formel
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{10^k}[/mm] nehmen, oder?? das ist
> doch sowas wie ein b-adischer bruch oder?? mit b=10 (wir
> hatten da bislang nur die definition, daher kenne ich mich
> damit noch nicht so gut aus).
> Wenn ich also das als Folge nehme sind die [mm]10^{k}[/mm] ja aus N
> und die sache passt...
Was passt denn? Damit hast Du zwar eine unendliche Summe, die so gebaut ist wie gefordert, und sie hat den Wert [mm] \tfrac{1}{9}.
[/mm]
Du sollst aber zeigen, dass für jedes x in ]0,1[ eine solche Folge zu konstruieren ist!
Damit bist Du noch keinen Schritt weiter.
Schau Dir doch mal an, wie ich "meine" Folgen konstruiert habe. Dann versuchs selbst mal, z.B. für [mm] x=\pi-3.
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo,
ich habe mir deine beispiele angeschaut und auch versucht nachzuvollziehen, aber mir ist leider noch nicht ganz klar, wie du auf diese zahlen kommst. Wie kommst du auf 665?
Wir haben sowas noch nie gemacht, ich hatte gerade mal eine Vorlesung mit Folgen und mehr nicht....
Aber stimmt, ich muss es ja für alle zeigen, das sehe ich ein...
Kannst du mir verraten, wie du genau auf deine Zahlen und Brüche kommst? Kann ich das irgendwo im Internet nachlesen? Oder kannst du es mr erklären?
Vielen Dank für die Mühe.
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
reverend hat einfach die vorigen Brüche abgezogen. wenn die Zahl x kleiner 1 ist kann man sie immer verkleinern indem man einen Stammbruch abzieht, der nächste hat dann nen größeren Nenner. Das wird wenn du es ausführen wolltest zu Fuss zwar ziemlich aufwendig, du würdest also einen anderen nur die vorschrift geben statt es zu machen, aber man kann ja die regel angeben.
Einfacher wirds, wenn du nicht im Dezimalsystem rechnest, sondern x im Dualsystem angiebst, weils da ja nur die Brüche [mm] 1/2^n [/mm] gibt.
der Zahl 0,11101..im Dualsystem kannst du direkt [mm] 1/2*1/2^2+1/2^3+1/2^5 [/mm] ablesen.
ich würde also für die erklärung das Dualsystem verwenden, wo jedes x durch eine folge von einsen und nullen gegeben ist.
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe mich ins Dezimalsystem eingelesen, aber jetzt muss ich immer noch zeigen, dass es nicht größer als 1 wird. Und ich weiss nicht wie ich das machen soll... denn eine eins ist ja eine 0,1 im binärsystem.
also so:
0,1 --> 1
0,01 -->2
0,11 --->3
0,001 -->4
0,101 --->5
aber man kan da doch nicht wie gewohnt addieren, oder??
LG
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Post versteh ich nicht.
1. Wenn du gar nicht mit dem Dualsystem vertraut bist, geh lieber den Weg von reverend.
es ist doch umgekehrt, du musst nicht zeigen, dass die Summe <1 ist, sonden dass du eine Zahl <1 als summe von Stammbrüchen schreiben kannst, deren Nenner immer größer werden.
Was du zum Binärsystem geschrieben hast versteh ich nicht.
im Dezimalsystem ist [mm] 0.1=10^{-1} [/mm] oder [mm] 1/10^1
[/mm]
[mm] 0.0001=1/10^4 [/mm] usw
0.12Kannst du schreiben als 1/10+2/100=1/10+1/50
0.13 =1/10+3/100
und jetzt 3/100=1/34+Rest der Rest ist 2/3400 (durch Differenz gefunden ) also 0.13=1/10+1/34+1/1700
siehst du, wie das für jede Dezimalzahl im Prinzip geht, egal wieviele Stellen sie hat?
Gruss leduart
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Hallo,
> 1. Wenn du gar nicht mit dem Dualsystem vertraut bist, geh
> lieber den Weg von reverend.
> es ist doch umgekehrt, du musst nicht zeigen, dass die
> Summe <1 ist, sonden dass du eine Zahl <1 als summe von
> Stammbrüchen schreiben kannst, deren Nenner immer größer
> werden.
> Was du zum Binärsystem geschrieben hast versteh ich
> nicht.
> im Dezimalsystem ist [mm]0.1=10^{-1}[/mm] oder [mm]1/10^1[/mm]
> [mm]0.0001=1/10^4[/mm] usw
> 0.12Kannst du schreiben als 1/10+2/100=1/10+1/50
> 0.13 =1/10+3/100
> und jetzt 3/100=1/34+Rest der Rest ist 2/3400 (durch
> Differenz gefunden ) also 0.13=1/10+1/34+1/1700
> siehst du, wie das für jede Dezimalzahl im Prinzip geht,
> egal wieviele Stellen sie hat?
ahhhhh, ok so ist das also gemeint... aber wie zeige ich, dass es für alle geht?? per induktion geht ja wohl nicht. Kannst du mir einen kleinen Tipp geben (aber nicht verraten, ich will schon irgendwie selber drauf kommen und vor allem verstehen, was ich da mache...)
vielen Dank
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich ist es eine Art Induktion, du musst ja nur zeigen, dass du, wenn du nStellen deiner Dezimal (oder Dual) Zahl schon beschrieben hast als summe bis k, dass du dann die nächste auch noch durch ein [mm] 1/n_{k+1} [/mm] mit [mm] n_{k+1}>n_k [/mm] erreichst.
D.h. du gibst einfach ein Verfahren an, wie du jede Zahl x=[mm]\summe_{i=1}^{n} a_i*10^{-i} ;
0\le a_i \le 9 ; a_i\in \IN[/mm]
die Summe findest.
Gruss leduart
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Hallo, und vielen Dank, dass ihr mir hier so viel helft...
> eigentlich ist es eine Art Induktion, du musst ja nur
> zeigen, dass du, wenn du nStellen deiner Dezimal (oder
> Dual) Zahl schon beschrieben hast als summe bis k, dass du
> dann die nächste auch noch durch ein [mm]1/n_{k+1}[/mm] mit
> [mm]n_{k+1}>n_k[/mm] erreichst.
ah, ok, also zeige ich, dass ich jede reelle zahl als summe von brüchen darstellbar ist (da weiß ich noch nicht wie das formal geht), wobei die nenner immer größer werden... das kann ich dann induktiv beweisen.
> D.h. du gibst einfach ein Verfahren an, wie du jede Zahl
> x=[mm]\summe_{i=1}^{n} a_i*10^{-i} ;
0\le a_i \le 9 ; a_i\in \IN[/mm]
>
> die Summe findest.
aber was ist das?? ich verstehe nicht, was du damit meinst...!?
ich habe gerade noch mal nachgedacht.... vielleicht, für [mm] a_i [/mm] vorgeben, dass
[mm] a_1=1
[/mm]
[mm] a_2=2....
[/mm]
meist du sowas als verfhren??
Ich komme einfach nicht weiter, entweder stehe ich gerade tierisch auf'm schlauch, oder ich weiß einfach noch zu wenig über folgen und co....
Liebe Grüße
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
x=$ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i\cdot{}10^{-i} [/mm] ; [mm] 0\le a_i \le [/mm] 9 ; [mm] a_i\in \IN [/mm] $
Beispoel
x=0,274.... [mm] a_1=2, a_2=7, a_3=4 [/mm] usw, das ist einfach die Dezimalzahl hingeschrieben.
gruss leduart
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Hallo,
also kann ich jede reelle Zahl als b-adischen Bruch mit b=10 darstellen zu betimmten [mm] a_i [/mm] , die abhängig von x sind. Und da mein x<1 ist, ist sind auch die [mm] a_i \in \IN [/mm] so, dass
[mm] x=\summe_{i=1}^{n}a_i\bruch{1}{10^i}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n_i}=0,....<1
[/mm]
Ich kann ja immer ein eine Folge natürlicher Zahlen [mm] n_i [/mm] finden, für die [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n_i}<1 [/mm] ist.
mein Problem ist glaube ich folgendes:
z.b. x=0,5 -->
[mm] 0,5=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n_i}=.... [/mm] müsste ja irgendwie sowas wie [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein, aber ich komme mit dieser summe und sem [mm] \infty [/mm] garüber noch nicht zurecht, wenn wenn ich immer noch etwas dazu addiere, dann konvergiert es vielleicht gegen 0,5, aber das ist doch wohl nicht gemeint, oder?? denn sonst könnte ich ja schreiben [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10^i} [/mm] --> aber hier müsste i ja gegen unendlich gehen und selbst das haut ja nicht hin, weil man ja nunmal aufsummiert....
Ich weiß ich nerve, aber ich würde es sehr gerne verstehen...
Danke für eure Geduld...
Liebe Grüße
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum du immer wieder darauf zurückkommst dass die Summe <1 sein soll versteh ich nicht. die [mm] a_i [/mm] sind die Ziffern in der Dezimaldarstellung.
Da du nicht gern dual rechnest, also die Ziffern von 0 bis 9, das hat nichts damit zu tun, dass x<1 ist. x<1 kommt durch die [mm] 1/10^i [/mm] statt [mm] 10^i
[/mm]
0.5=1/2 d,h. die summe geht nur bis 1
0.51=1/2+1/10 die summe geht nur bis 2 usw.
[mm] \wurzel{2} [/mm] die summe geht bis unendlich.
Überleg noch mal genau, was du beweisen willst, sag es lieber mal genau in worten.
Gruss leduart
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Hallo,
(oh ha, ich hoffe, es ist nicht schlimm, dass ich so viel frage und der thread so lang wird :S)
> Überleg noch mal genau, was du beweisen willst, sag es
> lieber mal genau in worten.
ok, ich probiers mal:
ich muss zeigen, dass es zu jeder reellen zahl, die zwischen Null und Eins liegt eine Folge aus natürlichen zahlen (2,3,4..... (ohne die Eins)) gibt, sodass [mm] x=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}} [/mm] gilt.
so, und wenn ich zeigen will dass etwas für alle gilt, dachte ich natürlich an induktion, aber [mm] \IR [/mm] ist ja nicht abzählbar, also war mein gedanke : Induktion geht nicht...
daher dachte ich mir dann, ich zeige:
0< [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}} [/mm] <1...
bei dem ersten Teil, also 0< [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}} [/mm] kann man das ja noch (argumentativ) nachweisen, aber bei [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n_{k}} [/mm] <1
kommt ich nicht weiter, egal was ich probiere... leider haben wir das thema folgen gerade erst begonnen (zuvor hatten wir bislang nur körper, Natürliche und relle zahlen definiert) und daher hab ich noch nicht wirklich viel "Material" worauf ich zurückgreifen kann um diese aufgabe zu lösen...)
Ich hab hier auf zetteln schon alles mögliche versucht, aber ich komme einfach nicht zum ziel....
ich bräuchte also noch hilfe.. Hat noch jemand ein wenig geduld und einen tipp für mich?
Ich danke euch so sehr.
friekeline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Di 16.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo friekeline,
> (oh ha, ich hoffe, es ist nicht schlimm, dass ich so viel
> frage und der thread so lang wird :S)
Keine Angst, da gibt es viel längere zu viel einfacheren Fragen. Deine ist nicht nach Schema F zu lösen, obwohl sie eigentlich nicht so schwierig aussieht. Schwierig ist aber daran, den Nachweis zu formulieren.
Der Weg, den leduart vorschlug (binäre Zahlen), ist übrigens genial einfach. Wenn Du sowieso mit b-adischen Zahlen vertraut werden musst, lohnt es sich bestimmt, Dich mit den 2-adischen Zahlen zu beschäftigen. Du wirst sie immer wieder brauchen.
Auf meinem Weg gibt es nicht viel zu zeigen. Du kannst sogar eine unendliche Darstellung erzwingen (meine ich...), indem Du immer die nächste Zahl um 1 größer wählst als nötig. Aber diesen Hinweis vergisst Du vorerst besser, sonst führt er Dich nur in die Irre.
Ich habe nichts weiter getan, als das jeweils kleinste [mm] n_i [/mm] zu suchen, so dass ich noch [mm] \tfrac{1}{n_i} [/mm] abziehen konnte. Und mit dem Rest bin ich genauso verfahren. Welches dabei das jeweils nächste [mm] n_i [/mm] (oder wohl eher [mm] n_{i+1} [/mm] ) ist, lässt sich doch aus dem noch darzustellenden Rest leicht ermitteln. Kehrwert bilden, obere Gaußklammer davon bilden, fertig.
Bin ansonsten gerade ein paar Stunden anderweitig beschäftigt, schaue aber später gern nochmal vorbei.
Such Dir einen Weg aus und verfolge ihn. Du schaffst das schon. Und einen wirklichen Gewinn hast Du nur davon, wenn Du selbst den Durchbruch schaffst. Selbst denken macht schlau.
Und dabei helfen wir hier immer wieder gern.
Viel Erfolg!
reverend
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Guten Abend,
> Such Dir einen Weg aus und verfolge ihn. Du schaffst das
> schon. Und einen wirklichen Gewinn hast Du nur davon, wenn
> Du selbst den Durchbruch schaffst. Selbst denken macht
> schlau.
> Und dabei helfen wir hier immer wieder gern.
Das freut mich....
Ich habe mich für das dual/binär-system entschieden (glaube ich zumindest, dass es das ist.... also ich meine 2-adische brüche) ....
ich bin mir immer noch nicht sicher, wie ich das mit dem Unendlich deuten soll, aber ich hab einfach mal gemacht.....
Also: jedes x lässt sich als folge von Nullen und Einsen darstellen und ich habe [mm] x=\summe_{i=1}^{n}a_i*2^{-i}
[/mm]
Ich habe einfach mal induktion (hatte leduart mal irgendwann angedeutet) gemacht:
Anfang: für n=2
[mm] x=\summe_{i=1}^{2}a_i*2^{-i}=\bruch{a_i}{2}+\bruch{a_i}{2^2}
[/mm]
Schritt:
[mm] x=\summe_{i=1}^{n+1}a_i*2^{-i}=\summe_{i=1}^{n}a_i*2^{-i}+\summe_{i=n+1}^{n+1}a_i*2^{-i}=\summe_{i=1}^{n}a_i*2^{-i}+\bruch{a_{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
weiter komme ich an der stelle leider nicht... aber es scheint so ein bruch dazuzukommen, wenn man n um eins erhöht... kann ich daraus was schließen?
irgendwie fehlt mir (egal was ich probiere) der schluss zum [mm] x=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n_i} [/mm] (???). Denn die zahlen zwischen 0 und 1 kann ich ja mit diesem 2-adischen bruch darstellen (wie schließe ich eigentlich aus, dass es auch für x außerhalb dieses bereichs gilt? oder ist das egal?)
Liebe Grüße
friekeline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 16.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast immer noch nicht in Worten ausgeschrieben, was du erreichen willst.
bzw. was du zeigen sollst.
Wenn du mir das lieferst, erstmal ohne jeden beweisversuch, kommen wir schneller weiter,
Gruss leduart
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Hallo,
> du hast immer noch nicht in Worten ausgeschrieben, was du
> erreichen willst.
> bzw. was du zeigen sollst.
nicht?? ich dachte, das hääte ich schon um 19:11 Uhr??
also ich habe eine relle zahl zwischen 0 und 1 und ich möchte die darstellen als unendliche summe aus brüchen, die im nenner natürliche zahlen (>1) haben....
> Wenn du mir das lieferst, erstmal ohne jeden
> beweisversuch, kommen wir schneller weiter,
so besser???
Liebe Grüße
friekeline
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Hallo nochmal,
nein, noch nicht besser.
Es ist relativ leicht zu zeigen, dass ein 2-adischer (binärer) Bruch, der in der binären Darstellung eine Null vor dem Komma hat, eben zwischen 0 und 1 liegt (ob eine der beiden Zahlen noch in den Bereich gehört, bedarf weniger aber doch merklicher Überlegung). Das wäre ja schon mal die halbe Miete.
In der Folge kannst Du eben auch zeigen, dass die Binärdarstellung gerade Deine [mm] n_i [/mm] liefert, denn wenn eine Stelle nach dem Komma mit einer "1" besetzt ist, hast Du zugleich ein Folgenglied gefunden. Das Bildungsgesetzt verrate ich noch nicht explizit, aber nehmen wir mal den Bruch [mm] \bruch{3}{5}=(0,\overline{1001})_2
[/mm]
Da weißt du aufgrund der Binärdarstellung:
$ [mm] n_1=2^1,\ n_2=2^4,\ n_3=2^5,\ n_4=2^8,\ \cdots\ n_{2k-1}=2^{4k-3},\ n_{2k}=2^{4k} [/mm] $
Nur: wieso weißt Du das? Das musst Du noch herausfinden, denke ich.
Grüße
reverend
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Hallo,
> nein, noch nicht besser.
-.-
> Es ist relativ leicht zu zeigen, dass ein 2-adischer
> (binärer) Bruch, der in der binären Darstellung eine Null
> vor dem Komma hat, eben zwischen 0 und 1 liegt.
setze ich da bei dem bruch an?? eigentlich ist das, was dazukommt ja immer kleiner also 0,5+0,25+0,125+0,0625+..... bleibt also doch unter eins, oder hast du da wieder ein gegenbeispiel parat ??
> In der Folge kannst Du eben auch zeigen, dass die
> Binärdarstellung gerade Deine [mm]n_i[/mm] liefert, denn wenn eine
> Stelle nach dem Komma mit einer "1" besetzt ist, hast Du
> zugleich ein Folgenglied gefunden. Das Bildungsgesetzt
> verrate ich noch nicht explizit, aber nehmen wir mal den
> Bruch [mm]\bruch{3}{5}=(0,\overline{1001})_2[/mm]
>
> Da weißt du aufgrund der Binärdarstellung:
> [mm]n_1=2^1,\ n_2=2^4,\ n_3=2^5,\ n_4=2^8,\ \cdots\ n_{2k-1}=2^{4k-3},\ n_{2k}=2^{4k}[/mm]
>
> Nur: wieso weißt Du das? Das musst Du noch herausfinden,
> denke ich.
hmmm. nja ich dacht mir das so:
3:5=0,6 und die erste binäre "zahl" ist ja 0,5. Das passt also da rein in die 0,6.. dann nehme ich denn rest und probiere 1:4 aus und gucke ob das passt, wenn ja mche ich mit dem rest weiter, wenn nicht probiere ich gleich die nächste zahl.... so in etwa???
LG
friekeline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Mi 17.11.2010 | | Autor: | friekeline |
Hallo,
ich danke euch allen sehr 
Ich glaube ich hab's jetzt!
Ich wünche euch eine schöne Woche.
LG
friekeline
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja, so denkst Du gut.
