Beweis disjunkte zykel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mi 14.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Seien s,t [mm] \in S_{n} [/mm] disjunkte Zykel. Dann gilt st = ts
(d.h, disjunkte zykel sind vertauschbar) |
Wie beweise ich das jetzt soll ich einfach beliebige zykel
[mm] (j_{1},...,j_{n}) [/mm] und [mm] (i_{1},...,i_{l})annehmen [/mm]
und dann sagen dass die nur elemente in sich selbst vertauschen??
würde das als beweis reichen? oder wie beweist man es sonst???
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien s,t [mm]\in S_{n}[/mm] disjunkte Zykel. Dann gilt st = ts
> (d.h, disjunkte zykel sind vertauschbar)
> Wie beweise ich das jetzt soll ich einfach beliebige zykel
> [mm](j_{1},...,j_{n})[/mm] und [mm](i_{1},...,i_{l})annehmen[/mm]
Ja, und zwar mit [mm] $j_a \neq i_b$ [/mm] fuer alle $a, b$. Und das $n$ hier solltest du besser $m$ nennen, da $n$ schon vergeben ist.
> und dann sagen dass die nur elemente in sich selbst
> vertauschen??
Was meinst du mit "sagen"? Du musst es schon zeigen.
Nimm etwa ein beliebiges Element $x [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$, [/mm] und schau dir an das $s(t(x))$ und $t(s(x))$ ist. (Mach Fallunterscheidung: $x [mm] \in \{ j_1, \dots, j_m \}$, [/mm] $x [mm] \in \{ i_1, \dots, i_l \}$, [/mm] sonst.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Do 15.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
also ich hab jetzt eine zykel s = {j1,...,jk} und Zykel t = {i1,...,il}
ja = jb für alle a,b
dann hab ich noch x beliebiges element aus {1,..,n}
dann muss ich drei fälle unterscheiden jenachdem woraus x ist
ich verstehe nur noch nicht wie ich das machen soll
was heißt s(t(x)) genau
was ist t(x), wenn t nicht in {i1,...,il} ist???
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also ich hab jetzt eine zykel s = {j1,...,jk} und Zykel t =
> {i1,...,il}
Ok.
> ja = jb für alle a,b
Das meinst du nicht ernst. Lies dir nochmal genau durch was du da schreibst.
(Und deine Formeln etwas lesbarer zu schreiben, gerade die Indices, hat auch noch nicht geschadet. So schwer ist der Formeleditor auch wieder nicht.)
> dann hab ich noch x beliebiges element aus {1,..,n}
>
> dann muss ich drei fälle unterscheiden jenachdem woraus x
> ist
Ja.
> ich verstehe nur noch nicht wie ich das machen soll
> was heißt s(t(x)) genau
Weisst du was eine Permutation ist? Das ist eine bijektive Funktion [mm] $\{ 1, \dots, n \} \to \{ 1, \dots, n \}$. [/mm] Ein Zykel ist eine spezielle Permutation, also auch eine Funktion, in die du $x$ einsetzen kannst. Was macht der Zykel mit $x$? Wenn $x [mm] \in \{ i_1, \dots, i_l \}$ [/mm] ist, sagen wir $x = [mm] i_t$ [/mm] mit $t [mm] \in \{ 1, \dots, l \}$, [/mm] was ist dann $s(x)$?
> was ist t(x), wenn t nicht in {i1,...,il} ist???
Ueberleg dir mal was ein Zykel ueberhaupt tut. Dann sollte sich die Frage eigentlich erledigen.
LG Felix
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ein zykel z.B
(123)
bildet 2 auf 3 ab und 1 auf 2 und 3 auf 1
also
dann müsste s(x) mit x [mm] \in \{i_{1},...,i_{l}\}
[/mm]
gleich bleiben, da x nicht in s
wenn x nicht in s ist, dann ist s(x) = x
also dann ändert sich in s nichts.
s(t(x)) wenn x in t dann ist t(x) = ja ich weiß nicht wie ich das schreiben soll, aber dann wird x auf t(x) abgebildet also
z.B bei (123)
wird wenn x = 3
x auf 1 abgebildet
und dann s(t(x)) z.B bei den zykel (134)(23)
wenn wird dann 2 erst auf 3 abgebildet und dann auf 4
bei disjunkten zykeln s,t kommt das element nur in einem vor und wird dann nur einmal vertauscht
, oder wenn es nicht in einem der beiden zykel ist gar nicht!
okay das verstehe ich ja alles, falls da was ich da schreibe stimmt
aber allgemein
ist dann
wenn x = [mm] j_{a} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] k
[mm] s(t(j_{a})) [/mm] = [mm] s(j_{a}) [/mm] = [mm] s(j_{a+1}) [/mm]
ist es jetzt schon besser???
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 16.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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