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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Binomialverteilung
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Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeit bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Do 14.12.2017
Autor: Pacapear

Aufgabe
Eine Firma stellt Sicherungen mit einer Ausschussquote von 5% her. Der Produktion werden 50 Sicherungen zu Prüfzwecken entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die letzten drei Sicherungen defekt sind.

Hallo zusammen.

Ich habe mir bei dieser Aufgabe überlegt, dass ich die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen soll, dass die 48., die 49., und die 50. entnommene Sicherung defekt ist, also $P(48 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 50)$.

Dann habe ich mir überlegt, dass $P(48 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 50) = P(X [mm] \le [/mm] 50) - P(X [mm] \le [/mm] 47)$.

Wenn ich aber $P(X [mm] \le [/mm] 50)$ und $P(X [mm] \le [/mm] 47)$ mit dem Taschenrechner berechne (mit n=50 und p=0,05), kommt bei beiden Wahrscheinlichkeiten 1 raus. Das verstehe ich nicht [haee]

Weiß jemand, was ich falsch gemacht habe?

LG, Nadine

        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Do 14.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

dein Ansatz per Binomialverteilung ist hier falsch.  (da eine Reihenfolge vorgegeben ist).

Jetzt kommt es ein bisschen darauf an, wie man die Aufgabe versteht. Nimmt man es wörtlich, dann ist es so, wie HJkweseleit in seiner Mitteilung geschrieben hat: man betrachtet nur die letzten drei Sicherungen und interessiert sich für die anderen überhaupt nicht. Dann ist

[mm] P=0.5^3 [/mm]

Man kann hier versucht sein, das anders zu interpretieren (vermutlich hast du dem auch Vorschub geleistet, weil du wahrscheinlich nicht alle Aufgabenteile gepostet hast, was ja auch völlig ok ist). Man kann es also so verstehen, dass die ersten 47 Sicherungen intakt sind und die letzten drei defekt. Dann wäre mein gestriger Tipp

[mm] P=0.95^{47}*0.05^3 [/mm]

die richtige Rechnung.

Wobei: je länger ich darüber nachdenke, desto mehr bin ich geneigt, die Interpretation von HJkweseleit als korrekt anzunehmen (zumindest, so lange ich den kompletten Aufgabentext nicht kenne).

Zu deinem Taschenrechner-Problem: gerade für sehr kleine oder sehr große p liegen viele Werte der Binomialverteilung sehr nahe bei 0 bzw. 1.

Desweiteren zeigen die eingebauten Verteilungsfunktionen oft recht wenig Nachkommastellen an, so dass eben viele Ergebnisse auf 0 oder 1 gerundet werden, die der TR eigentlich noch genauer anzeigen könnte.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Fr 15.12.2017
Autor: HJKweseleit

Es ist noch viel einfacher:

Ob die 48., 49. und 50. Sicherung defekt ist, hängt überhaupt nicht von den Vorergebnissen der 1. - 47. Sicherung ab (deshalb: Binomialverteilung). Es steht nicht  in der Aufgabe, dass die ersten 47 Sicherungen alle heil gewesen sein sollen.
Daher ist die W. einfach nur [mm] 0,05^3. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Binomialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 15.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Es ist noch viel einfacher:

>

> Ob die 48., 49. und 50. Sicherung defekt ist, hängt
> überhaupt nicht von den Vorergebnissen der 1. - 47.
> Sicherung ab (deshalb: Binomialverteilung). Es steht nicht
> in der Aufgabe, dass die ersten 47 Sicherungen alle heil
> gewesen sein sollen.
> Daher ist die W. einfach nur [mm]0,05^3.[/mm]

Ja, streng genommen hast du recht. Ich ergänze meine Antwort darauf hin mal noch.

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Binomialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 So 19.08.2018
Autor: donp

Hallo,

> Ob die 48., 49. und 50. Sicherung defekt ist, hängt
> überhaupt nicht von den Vorergebnissen der 1. - 47.
> Sicherung ab (Binomialverteilung). Es steht nicht  
> in der Aufgabe, dass die ersten 47 Sicherungen alle heil
> gewesen sein sollen.
>  Daher ist die W. einfach nur [mm]0,05^3.[/mm]  

Stimmt: Es steht nicht direkt in der Aufgabe, dass genau 3 defekte Sicherungen dabei sind. Bei 5% Ausschuss können auch zufällig alle 50 in Ordnung sein oder mehr als 3 defekt. Dann ist die Lösung einfach nur [mm]0,05^3[/mm].

Falls die Aufgabe wirklich so gemeint ist, dann ist sie darauf angelegt zu verwirren, denn sowohl die gegebene Stichprobengröße von 50 wie auch die Formulierung "die letzten 3" wäre unnötig. Es sollte dann besser heißen "eine beliebige Stichprobe" und "3 defekte in Folge".

Die Aufgabe ist vermutlich so gemeint:

Aus den gegebenen 5% Ausschuss von 50 folgt, dass genau [mm]50*0,05=2,5\approx3[/mm] defekt sind. Wenn es die letzten 3 sind, müssen die ersten 47 in Ordnung  sein. Es geht also darum, wo genau in der Prüfserie die defekten 3 zu finden sind.

Die W'keit, dass die letzten 3 defekt sind, ist dann wesentlich kleiner als [mm]0,05^3[/mm]. Viel öfter wird man sie woanders finden als am äußersten Ende der Prüfserie, und man wird auch nicht zwingend alle drei in Folge finden.

Gruß, Don

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 So 17.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> Hallo,
>  
> dein Ansatz per Binomialverteilung ist hier falsch.  (da
> eine Reihenfolge vorgegeben ist).
>  
> Jetzt kommt es ein bisschen darauf an, wie man die Aufgabe
> versteht. Nimmt man es wörtlich, dann ist es so, wie
> HJkweseleit in seiner Mitteilung geschrieben hat: man
> betrachtet nur die letzten drei Sicherungen und
> interessiert sich für die anderen überhaupt nicht. Dann
> ist
>  
> [mm]P=0.5^3[/mm]
>  
> Man kann hier versucht sein, das anders zu interpretieren
> (vermutlich hast du dem auch Vorschub geleistet, weil du
> wahrscheinlich nicht alle Aufgabenteile gepostet hast, was
> ja auch völlig ok ist). Man kann es also so verstehen,
> dass die ersten 47 Sicherungen intakt sind und die letzten
> drei defekt. Dann wäre mein gestriger Tipp
>  
> [mm]P=0.95^{47}*0.05^3[/mm]
>  
> die richtige Rechnung.

Genau, ich hatte nur die letzte Teilaufgabe gepostet. Bei den vorherigen Teilaufgaben war die Anwendung der Binomialverteilung richtig, und die Aufgabe hatte auch die Binomialverteilung als Überschrift, daher dachte ich, dass dann hier auch Binomialverteilung verwendet werden musste.

VG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Binomialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 So 17.12.2017
Autor: abakus

"daher dachte ich, dass dann hier auch Binomialverteilung verwendet werden musste."

Muss sie doch auch!
Nur, dass es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge 3 (und nicht der Länge 50) handelt.

Bezug
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