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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Sven.H |
| Aufgabe | Sei x eine positive reelle Zahl. Betrachten Sie die Folgen
[mm] $a_{n} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{x}{n})^{n} [/mm]
und
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}.$ [/mm]
In dieser Aufgabe
geht es darum zu zeigen, dass an monoton steigt und dass [mm] a_{n} [/mm] ≤ [mm] b_{n} [/mm] für alle n ≥ 1.
a) Benutzen Sie die Binomische Formel
$ [mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{k} b^{n-k}$
[/mm]
um zu zeigen, dass
[mm] $(1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n}) [/mm] ... [mm] (1-\bruch{k-1}{n}) \bruch{x^{k}}{k!}$ [/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 1 gilt. Folgern Sie hieraus, dass [mm] a_{n} [/mm] ≤ [mm] b_{n} [/mm] .
b) Zeigen Sie, dass die Faktoren (1 − [mm] \bruch{i}{
n}) [/mm] , die in obiger Summe auftauchen, monoton steigen wenn n wächst.
Folgern Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton steigt. |
Hallo!
Ich habe bei der obigen Aufgabe das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich auf die angegebene Form kommen soll.
Ich bin bisher an dieser Stelle (einfach [mm] $(1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] $ in den binomischen Satz eingesetzt und etwas umgestellt):
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{n^{k}(n-k)!} [/mm] * [mm] \bruch{x^{k}}{k!}
[/mm]
So ist der rechte Teil schonmal gleich. Aber wie kriege ich den linken auf die andere Form? Bin ich überhaupt richtig angefangen?
Danke für Eure hilfe!
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.*
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Hallo Sven.H,
> Sei x eine positive reelle Zahl. Betrachten Sie die Folgen
>
> [mm]$a_{n}[/mm] = (1+ [mm]\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
>
> und
>
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{k}}{k!}.$[/mm]
>
> In dieser Aufgabe
> geht es darum zu zeigen, dass an monoton steigt und dass
> [mm]a_{n}[/mm] ≤ [mm]b_{n}[/mm] für alle n ≥ 1.
>
> a) Benutzen Sie die Binomische Formel
>
> [mm](a+b)^{n} = \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^{k} b^{n-k}[/mm]
>
> um zu zeigen, dass
>
> [mm](1+\bruch{x}{n})^{n} = \summe_{k=0}^{n} (1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n}) ... (1-\bruch{k-1}{n}) \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> für n [mm]\ge[/mm] 1 gilt. Folgern Sie hieraus, dass [mm]a_{n}[/mm] ≤
> [mm]b_{n}[/mm] .
>
> b) Zeigen Sie, dass die Faktoren (1 − [mm]\bruch{i}{
n})[/mm] , die in obiger Summe auftauchen, monoton steigen wenn
> n wächst.
> Folgern Sie, dass [mm]a_{n}[/mm] monoton steigt.
> Hallo!
>
> Ich habe bei der obigen Aufgabe das Problem, dass ich nicht
> weiß, wie ich auf die angegebene Form kommen soll.
>
> Ich bin bisher an dieser Stelle (einfach
> [mm](1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm] in den binomischen Satz eingesetzt und
> etwas umgestellt):
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{n^{k}(n-k)!}[/mm] *
> [mm]\bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
>
> So ist der rechte Teil schonmal gleich. Aber wie kriege ich
> den linken auf die andere Form? Bin ich überhaupt richtig
Welcher "linke Teil"?
Solltest Du den Binomialkoeffizienten meinen, dann
lies Dir die Definition des Binomialkoeffizienten durch.
Meinst Du jedoch den linken Teil von
[mm]\summe_{k=0}^{n} (1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n}) ... (1-\bruch{k-1}{n}) \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
, dann hilft hier wohl nur die vollständige Induktion.
> angefangen?
Ja, sicher hast Du richtig angefangen.
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> Danke für Eure hilfe!
>
>
>
>
> *Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.*
Gruss
MathePower
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