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Binomialkoeffizient
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Binomialkoeffizient

Definition Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient

$ {n\choose k} $

Man spricht: n über k oder auch "k aus n"

$ {n\choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} $

gibt die Anzahl von Möglichkeiten an, aus einer Menge von $ n $ Elementen genau $ k $ Elemente ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu entnehmen.

Die Formel erklärt sich wie folgt. Beim $ k $-maligen Ziehen ohne Wiederholung gibt es

$ n\cdot(n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} $

verschiedene Möglichkeiten. Da die Reihenfolge der gezogenen Elemente keine Rolle spielt, muss man durch die Anzahl der Permutationen in dieser Menge von $ k $ Elementen dividieren, also durch $ k! $ teilen, woraus die angegebene Formel folgt.
($ n! $ bedeudet Fakultät  $ n! = 1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}\ldots\cdot{}(n-1)\cdot{}n $)


Rechenregeln für Binomialkoeffizienten

$ {n\choose k}=0 $ falls $ k>n $

$ {n\choose n}=1 $

$ {n\choose k}={n\choose n-k} $      ("Symmetrie")

$ {n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k} $

$ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1} $      ("Additivität")


Beweis

$ {n\choose k} + {n\choose k+1}=\frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} $

$ =\frac{(k+1)\cdot n!}{(k+1)\cdot k!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)\cdot(n-k-1)!} $

$ =\frac{(k+1)\cdot n!}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}, $

denn aufgrund der Definition der Fakultät gilt sowohl $ (k+1)\cdot k!=(k+1)! $ als auch $ (n-k)\cdot (n-k-1)!=(n-k)! $.
Jetzt können wir die Brüche zusammenfassen:

$ {n\choose k} + {n\choose k+1}=\frac{(k+1)\cdot n! + (n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!} $

$ =\frac{(k+1+n-k)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!} $

$ =\frac{(n+1)\cdot n!}{(k+1)!\cdot(n-k)!} $

$ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!} $

$ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n+1-(k+1))!}={n+1\choose k+1}. $


Der etwas andere Beweis von $ {n\choose k} + {n\choose k+1}={n+1\choose k+1} $

Die gerade bewiesene Formel kann man, mit um 1 "verschobenem" Index k auch so darstellen:

$ {n\choose k-1}+{n\choose k}\ =\ { n+1\choose k } $

oder:

$ { n+1\choose k }\ =\ {n\choose k}+{n\choose k-1 } $

Es gibt für diesen Satz einen ganz netten Beweis für den Fall, dass man schon weiß, dass $ {n\choose k} $ die Anzahl der Möglichkeiten ist, aus einer Menge von $ n $ Elementen eine Teilmenge von genau $ k $ Elementen herauszugreifen. Dabei soll natürlich  $ 0\le k \le n $ gelten.
Stellen wir uns eine Schulklasse aus $ n $ SchülerInnen vor, welcher der Klassenlehrer am ersten Schultag erklärt, dass die Klasse Anspruch auf $ k $ Sitze im Schülerparlament der Schule hat. Am nächsten Tag bezirzen einige Schülerinnen den Mathelehrer, er möge der Klasse doch eine Viertelstunde für die dringende Wahl der Klassenvertreter gewähren. Er unterliegt dem geballten Charme und opfert eine der geplanten Übungsaufgaben zu Logarithmen. Die Wahl wird durchgeführt. Wieder einen Tag später trifft ein zusätzlicher Schüler, Lukas, ein, der auch noch in die Klasse kommt, weil eine andere überfüllt war. Natürlich stellt sich die Frage, ob man die Wahl wiederholen muss.
Die gesamte Anzahl der Auswahlmöglichkeiten hat sich ja nun von $ {n\choose k} $ auf $ {n+1\choose k} $ erhöht, wenn man Lukas eine faire Chance zugestehen will. Es gibt nun zwei Möglichkeiten: entweder bleibt es bei der schon getroffenen Wahl aus den insgesamt $ {n\choose k} $ Möglichkeiten oder aber Lukas kommt auch in die Schülervertretung, dazu $ k-1 $ Vertreter aus der anfänglichen $ n $-köpfigen Klasse. Wie viele zusätzliche Möglichkeiten ergeben sich für die Wahl? Die bisherigen Möglichkeiten bleiben alle, dazu kommen aber jene, bei welchen Lukas gewählt werden würde. Also muss die Gleichung gelten:

$ {n+1\choose k}\ =\ \underbrace{{n\choose k}}_{\text{ohne Lukas}}+\ \underbrace{{n\choose k-1}}_{\text{mit Lukas}} $

Das schöne an diesem Beweis: es ist keine einzige konkrete Rechnung oder Formelumformung und auch keine Induktion erforderlich.

(Al-Chwarizmi)  


Interessante Identitäten

$ \summe_{k=0}^{n} {n\choose k}=2^n $
Beweis durch Induktion

siehe auch binomischer Lehrsatz
Pascalsches Dreieck
Zufallsversuch
Bernoulli-Versuch

Erstellt: Di 05.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Di 24.11.2009 um 22:52 von Marc
Weitere Autoren: Al-Chwarizmi
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