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Cantormenge ist Borelmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Di 17.05.2016
Autor: Diffeomorph

Aufgabe
Zu zeigen ist, dass die in der Vorlesung vorgestellte Cantormenge eine kompekte Borelmenge ist.

Hallo. Ich sitze gerade wieder mal frustriert vor einigen Aufgaben, die ich nur deswegen nicht lösen kann, weil bei uns in der VL sogut wie alles sehr schlampig definiert und eingeführt wird. So beispielsweise Erzeuger und die Sigma-Borel-Algebra. Für diese muss ja erst einmal ein Topologischer Raum zugrunde gelegt werden, dieser wird in dieser Aufgabe nicht ansatzweise erwähnt, sodass ich nicht einmal eine Ahnung davon habe, welche Mengen hier offen sind. Weiterhin wurde bei uns definiert, dass [mm] \sigma(O)=B(\Omega) [/mm] wobei O eine offene Menge ist. Muss die menge, die wir in dieses [mm] \sigma [/mm] einsetzen nicht eine Teilmenge der Potenzmenge sein und nicht bloß irgendeine Menge? Bitte helft mir aus diesem Wirrwarr. Vielleicht kann mir auch jemand einen link zu einem halbwegs anständigem skript schicken. ich wäre darüber sehr dankbar. ich möchte dieses semester unbedingt die maß-und-integrationstheorie erfolgreich abschließen und das soll nicht daran scheitern, dass ich pech mit dem dozenten habe.

LG

Gabor

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Cantormenge ist Borelmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:50 Di 17.05.2016
Autor: fred97

Ist [mm] \Omega [/mm] ein topologischer Raum, so bezeichne ich mit [mm] \mathcal{O} [/mm] das system der offenen Mengen in [mm] \Omega. [/mm]

  [mm] \sigma(\mathcal{O}) [/mm] ist dann die von [mm] \mathcal{O} [/mm] erzeugte  [mm] \sigma [/mm] - Algebra und heißt Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra.


In Deiner Aufgabe ist [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] mit der Standardtopologie. Ist C die Cantormenge, so sollst Du zeigen:

   C ist kompakt und C [mm] \in \sigma(\mathcal{O}) [/mm]

fred

Bezug
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