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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Orchis |
Hallo! :)
ich frage mich schon seit Längerem wie man das Rechnen mit dem Differentialoperator d/dx zu verstehen hat. Er ist ja eigentlich nur (jedenfalls hab ich das so verstanden) eine Notation für die momentane Änderungsrate, sprich: [mm] \frac{d}{dx}f(x) [/mm] := f'(x).
Jetzt gibt es aber unzählige Beispiele, wo mit diesem Differentialoperator gerechnet wird, wie mit einem Bruch. Selbstverständlich ist das KEIN Bruch! Trotzdem würde ich gerne verstehen, warum man das so einfach machen darf. Um es konkret zu machen, z.B. hier:
Man hat eine Differentialgleichung und es gelte g'(x) > 0
g'(x) = 4 - g(x)
Dann gilt
g'(x) = [mm] \frac{dg}{dx} [/mm] = 4 - g(x)
In meinem Buch steht nun, dass man wegen g'>0 bzgl. g reparametrisieren kann und dann
dx = (1 - [mm] g)^{-1}dg [/mm] erhält.
Dieses Ergebnis erhalte ich aber nur, wenn ich diesen Differentialoperator wie einen Bruch behandle und damit umforme...
Weiß jemand, warum man das darf oder wie man das Ergebnis sonst erhält? Falls jemand dazu Literatur empfehlen könnte, wäre das übrigens auch echt super!!!
Vielen Dank und schöne Grüße,
Orchis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Fr 17.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! :)
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> ich frage mich schon seit Längerem wie man das Rechnen mit
> dem Differentialoperator d/dx zu verstehen hat. Er ist ja
> eigentlich nur (jedenfalls hab ich das so verstanden) eine
> Notation für die momentane Änderungsrate, sprich:
> [mm]\frac{d}{dx}f(x)[/mm] := f'(x).
Ja.
> Jetzt gibt es aber unzählige Beispiele, wo mit diesem
> Differentialoperator gerechnet wird, wie mit einem Bruch.
> Selbstverständlich ist das KEIN Bruch! Trotzdem würde ich
> gerne verstehen, warum man das so einfach machen darf. Um
> es konkret zu machen, z.B. hier:
>
> Man hat eine Differentialgleichung und es gelte g'(x) > 0
> g'(x) = 4 - g(x)
> Dann gilt
> g'(x) = [mm]\frac{dg}{dx}[/mm] = 4 - g(x)
> In meinem Buch steht nun, dass man wegen g'>0 bzgl. g
> reparametrisieren kann und dann
> dx = (1 - [mm]g)^{-1}dg[/mm] erhält.
Ich erhalte $dx = (4 - [mm] g)^{-1}dg$ [/mm] !!!
> Dieses Ergebnis erhalte ich aber nur, wenn ich diesen
> Differentialoperator wie einen Bruch behandle und damit
> umforme...
> Weiß jemand, warum man das darf
Es geht sicherlich um Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen. Wenn ja, so hattet Ihr sicher einen Satz, wie man bei solchen DGLen zu Lösungen kommt. Dieser Satz und sein Beweis rechtfertigen die obige Vorgehensweise.
Aus $dx = (4 - [mm] g)^{-1}dg$ [/mm] erhält man durch Integration
(*) [mm] $\ln(4-g)=-x+c$
[/mm]
(beachte, dass wegen g'(x) > 0 und g'(x) = 4 - g(x) stets 4-g(x)>0 ist).
Löst man (*) nach g auf, so bekommt man
[mm] $g(x)=4-Ce^{-x}$
[/mm]
mit einer Konstanten C>0.
C>0 deshalb , weil [mm] g'(x)=Ce^{-x}>0 [/mm] sein soll.
FRED
oder wie man das Ergebnis
> sonst erhält? Falls jemand dazu Literatur empfehlen
> könnte, wäre das übrigens auch echt super!!!
>
> Vielen Dank und schöne Grüße,
> Orchis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Fr 17.04.2015 | | Autor: | Orchis |
Ok, das habe ich verstanden. Werde mir mal ein Skript zu DGLn angucken. Danke!
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