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Hallo!
Kann mir jemand erklären wie folgende Definitionen zu verstehen sind:
Vereinigung:
[mm] \cup\mathcal{M} [/mm] := {x | [mm] \exists [/mm] M [mm] \varepsilon \mathcal{M} [/mm] : x [mm] \varepsilon [/mm] M}= {x | [mm] \exists [/mm] l [mm] \varepsilon [/mm] {M,N} : x [mm] \varepsilon [/mm] l}
und entsprechend
Durchschnitt:
[mm] \cap\mathcal{M} [/mm] := {x | [mm] \forall [/mm] M [mm] \varepsilon \mathcal{M} [/mm] : x [mm] \varepsilon [/mm] M}= {x | [mm] \forall [/mm] l [mm] \varepsilon [/mm] {M,N} : x [mm] \varepsilon [/mm] l}
Mir kommt es unlogisch vor, dass mit der Vereinigung [mm] \exists [/mm] M und mit dem Durchschnitt [mm] \forall [/mm] M verbunden wird. Und was soll dieses l [mm] \varepsilon [/mm] {M,N} ?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo saftigeszebra!
> Hallo!
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> Kann mir jemand erklären wie folgende Definitionen zu
> verstehen sind:
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> Vereinigung:
> [mm]\cup\mathcal{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x | [mm]\exists[/mm] M [mm]\varepsilon \mathcal{M}[/mm]
> : x [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}= {x | [mm]\exists[/mm] l [mm]\varepsilon[/mm] {M,N} : x
> [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
l}
Also, das erste Gleichheitszeichen bedeutet: "alle x, für die eine Menge M existiert, in der x enthalten ist, wobei M selbst Element von \mathcal{M} ist". Ist das verständlich? Ist irgendwie immer etwas schwierig, in Worte zu fassen...
> Durchschnitt:
> [mm]\cap\mathcal{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {x | [mm]\forall[/mm] M [mm]\varepsilon \mathcal{M}[/mm]
> : x [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}= {x | [mm]\forall[/mm] l [mm]\varepsilon[/mm] {M,N} : x
> [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
l}
Hier bedeutet das erste Gleichheitszeichen: "alle x, für die es eine Menge M gibt (die wiederum Element von \mathcal{M} ist), so dass x in dieser Menge M ist."
> Mir kommt es unlogisch vor, dass mit der Vereinigung
> [mm]\exists[/mm] M und mit dem Durchschnitt [mm]\forall[/mm] M verbunden
> wird. Und was soll dieses l [mm]\varepsilon[/mm] {M,N} ?
Was [mm] l\in\{M,N\} [/mm] bedeuten soll, weiß ich leider auch nicht, aber ist jetzt klar, warum es Vereinigung und Durchschnitt ist? Ich meine, beim Schnitt muss es doch für alle gelten. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Di 11.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Kann mir jemand erklären wie folgende Definitionen zu
> verstehen sind:
>
> Vereinigung:
[mm]\bigcup\mathcal{M} := \{x \mbox{ }| \mbox{ }\exists M \in \mathcal{M}: x \in M\}[/mm]
bis hierhin kann man das so schreiben, wobei Du halt [mm] $\in$ [/mm] anstatt [mm] $\varepsilon$ [/mm] schreiben solltest:
Formeln dazu findest Du hier:
https://matheraum.de/mm
(siehe auch links, Stichwort: [mm] $\rightarrow$ [/mm] Formeln)
Dort siehst Du auch, wie man die Mengenklammern schreibt.
Was das danachkommende
[mm] $=\{x \mbox{ }| \exists l \in \{M,N\}: x \in l\}$
[/mm]
bedeuten soll, ist mir auch unklar. Es macht allerdings Sinn, wenn oben einfach [mm] $\mathcal{M}=\{M,N\}$ [/mm] gelten sollte, denn dann macht man nichts anderes, als die allgemeine Definition für den Spezialfall [mm] $\mathcal{M}=\{M,N\}$ [/mm] zu benutzen, und die "in der Definition symbolische Menge" $M$ wird hier dann $l$ genannt, weil die Variable $M$ dann schon vergeben ist.
Nun nochmal das Grundlegende:
Gegeben hast Du hier ein Mengensystem [mm] $\mathcal{M}$. [/mm] Nun bildet man die Vereinigung über all diese Mengen $M [mm] \in \mathcal{M}$ [/mm] und drückt dies symbolisch durch [mm] $\bigcup \mathcal{M}$ [/mm] aus, d.h.:
[mm] $\bigcup \mathcal{M}:=\bigcup\limits_{M \in \mathcal{M}}M$
[/mm]
In vollkommener Analogie definiert man dann:
[mm] $\bigcap \mathcal{M}:=\bigcap_{M \in \mathcal{M}}M$
[/mm]
Damit erhält man dann:
[mm] $\bigcup \mathcal{M}=\bigcup\limits_{M \in \mathcal{M}}M=\left\{x: \exists M \in \mathcal{M}: x \in M\right\}$
[/mm]
(D.h.: $x$ ist genau dann ein Element von [mm] $\bigcup \mathcal{M}$, [/mm] wenn es (mindestens) eine Menge $M [mm] \in \mathcal{M}$ [/mm] gibt, die $x$ enthält.)
sowie
[mm] $\bigcap \mathcal{M}=\bigcap\limits_{M \in \mathcal{M}}M=\left\{x: \forall M \in \mathcal{M}: x \in M\right\}$
[/mm]
(D.h.: $x$ ist genau dann ein Element von [mm] $\bigcap \mathcal{M}$, [/mm] wenn für jede Menge $M [mm] \in \mathcal{M}$ [/mm] gilt, dass sie $x$ enthält.)
Dies ist die übliche Definition über die Schnitt-Bildung bzw. Vereinigung eines Mengensystems. Um das ganze mal ein wenig zu veranschaulischen, schauen wir uns vielleicht mal folgendes Beispiel an:
Für jedes [mm] $\alpha \in \IR_{>0}$ [/mm] definiere ich [mm] $I_{\alpha}$ [/mm] durch:
[mm] $I_a:=(-\alpha,\alpha)=\{x \in \IR: -\alpha < x < \alpha\}$
[/mm]
Wir betrachten nun
[mm] $\mathcal{M}:=\bigcup_{\alpha \in \IR_{>0}} \{I_a\}=\{I_{\alpha}: \mbox{ } \alpha > 0\}$
[/mm]
(D.h. das Mengensystem [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] enthält alle (nichtleeren) um die $0$ symmetrischen, offenen Intervalle. So ist z.B. das offene Intervall $(-2,2)$ (manchmal auch als $]-2,2[$ notiert) in [mm] $\mathcal{M}$, [/mm] aber auch [mm] $(-\pi,\pi) \in \mathcal{M}$ [/mm] usw.)
Ich behaupte nun, dass für dieses [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] gilt:
[mm] $\bigcap \mathcal{M}=\{0\}$
[/mm]
und
[mm] $\bigcup \mathcal{M}=\IR$
[/mm]
Für das bessere Verständnis Deinerseits:
Kannst Du das (formal) beweisen, indem Du die obige Definition heranziehst?
Gruß,
Marcel
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