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Existenz mit Hilfe des ZWS: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Fr 03.08.2018
Autor: Flauschfussel

Aufgabe
Sei f [mm] \in [/mm] C°([0,1], [mm] \IR) [/mm] gegeben mit den Eigenschaften f(0)=f(1)=1, f(x)<1 für alle x [mm] \in [/mm] (0,1). Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes: Für jedes s [mm] \in [/mm] (0,1) existiert ein x [mm] \in [/mm] (0,s) mit f(x)=f(x+1-s).

Hallo erstmal zusammen :)

Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber komme einfach nicht weiter. Meine bisherigen Gedanken dazu:

Die Funktion f ist ein Element aus dem Funktionenraum der 0-mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig
Dann habe ich mir eine Hilfsfunktion g:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] g(z)=f(z)-f(z+1-s) definiert.
Diese ist als Komposition stetiger Funktionen auch stetig. Nach dem Satz von Minimum und Maximum nimmt g auf jeden Fall ein Minimum und Maximum an.

An der Stelle hänge ich nun fest, da ich nicht weiß, wie ich weiter verfahren soll. Wäre für jeden Tipp dankbar.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)

        
Bezug
Existenz mit Hilfe des ZWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Fr 03.08.2018
Autor: leduart

Hallo
sieh dir mal g(0) und g(s) an, nachden du das schon so geschickt definiert hast.
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Existenz mit Hilfe des ZWS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Di 07.08.2018
Autor: Flauschfussel

Vielen Dank für den Tipp, konnte die Aufgabe lösen :)

Bezug
        
Bezug
Existenz mit Hilfe des ZWS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Fr 03.08.2018
Autor: fred97


> Sei f [mm]\in[/mm] C°([0,1], [mm]\IR)[/mm] gegeben mit den Eigenschaften
> f(0)=f(1)=1, f(x)<1 für alle x [mm]\in[/mm] (0,1). Zeigen Sie mit
> Hilfe des Zwischenwertsatzes: Für jedes s [mm]\in[/mm] (0,1)
> existiert ein x [mm]\in[/mm] (0,s) mit f(x)=f(x+1-s).
>  Hallo erstmal zusammen :)
>  
> Ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, aber komme
> einfach nicht weiter. Meine bisherigen Gedanken dazu:
>  
> Die Funktion f ist ein Element aus dem Funktionenraum der
> 0-mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> stetig
>  Dann habe ich mir eine Hilfsfunktion g:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm]
> g(z)=f(z)-f(z+1-s) definiert.
> Diese ist als Komposition stetiger Funktionen auch stetig.
> Nach dem Satz von Minimum und Maximum nimmt g auf jeden
> Fall ein Minimum und Maximum an.
>
> An der Stelle hänge ich nun fest, da ich nicht weiß, wie
> ich weiter verfahren soll. Wäre für jeden Tipp dankbar.
> Vielen Dank schon mal im Voraus :)


leduart hat das Wesentliche gesagt.

Ich bin nur verwundert : zum einen definierst Du Dir genau das richtige  Hilfsmittel,  nämlich  die Funktion  g und zum anderen steht  in der  Aufgabenstellung ".... mit  Hilfe des Zwischenwertsatzes ".

Schade,  dass Du beides nicht zusammengebracht hast. Aber  das kannst Du jetzt ja  nachholen.



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