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| Aufgabe | | Ich habe diede Frage schon in diesen Forum gestellt |
Hallo
Ich habe schon mal gefragt, warum bei Fourier Reihen einmal die Glieder [mm] a_n [/mm] und einmal die Glieder [mm] b_n [/mm] auflösen. Ich habe schon mit den Lehrer gesprochen es aber nicht ganz verstanden
Ich habe das so verstanden.
Beispiel [mm] x^2 [/mm] ist eine gerade Funktion.
Wenn man die Fourier Reihe berechnet muss man eigentlich die Glieder [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] betrachten.
Jetzt meine Erklärung(Vermutung).
Weil [mm] X^2 [/mm] und cos 2 gerade Funktionen sind und sich überlagern heben diese sich auf und ergeben den Wert 0. Übrig bleibt dann nur die Glieder [mm] a_n.
[/mm]
Das gleiche geschiet wenn ich a_ berechne und 2 und gerade Funktionen habe, dann überlagern sich die 2 ungeraden Funktionen und nehmen den Wert 0 an. Übrig bleibt dann nur die Glieder [mm] b_n.
[/mm]
Mein Problem ist:
Ist dass verständlich und Mathematisch korekt erklärt.
Ist das math. nicht korekt kann mir da jemand helfen.
Danke
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> Ich habe diede Frage schon in diesen Forum gestellt
> Hallo
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> Ich habe schon mal gefragt, warum bei Fourier Reihen einmal
> die Glieder [mm]a_n[/mm] und einmal die Glieder [mm]b_n[/mm] auflösen. Ich
> habe schon mit den Lehrer gesprochen es aber nicht ganz
> verstanden
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> Ich habe das so verstanden.
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> Beispiel [mm]x^2[/mm] ist eine gerade Funktion.
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> Wenn man die Fourier Reihe berechnet muss man eigentlich
> die Glieder [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] betrachten.
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> Jetzt meine Erklärung(Vermutung).
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> Weil [mm]X^2[/mm] und cos 2 gerade Funktionen sind und sich
> überlagern heben diese sich auf und ergeben den Wert 0.
> Übrig bleibt dann nur die Glieder [mm]a_n.[/mm]
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> Das gleiche geschiet wenn ich a_ berechne und 2 und gerade
> Funktionen habe, dann überlagern sich die 2 ungeraden
> Funktionen und nehmen den Wert 0 an. Übrig bleibt dann nur
> die Glieder [mm]b_n.[/mm]
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> Mein Problem ist:
> Ist dass verständlich und Mathematisch korekt erklärt.
> Ist das math. nicht korekt kann mir da jemand helfen.
Nein, dies ist leider nicht richtig. Du kannst auch nur so unmittelbar von $f(x)$ gerade bzw. ungerade auf [mm] $b_n=0$ [/mm] bzw. [mm] $a_n=0$ [/mm] schliessen, falls das Integrationsintervall für die Fourierkoeffizienten symmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Ist das Integrationsintervall symmetrisch zum Ursprung, sagen wir von der Form $[-T/2;+T/2]$, so geht der Schluss gerade anders herum, als in Deiner obigen Überlegung:
Aus $f(x)$ gerade folgt [mm] $f(x)\cdot \sin(k\omega [/mm] x)$ ungerade, für alle $k$, und daher ist
[mm]b_k=\frac{2}{T}\integral_{-T/2}^{+T/2}f(x)\cdot\sin(k\omega x)\,dx=0[/mm]
Aus $f(x)$ ungerade folgt [mm] $f(x)\cdot\cos(k\omega [/mm] x)$ ungerade, für alle $k$, und daher ist
[mm]a_k=\frac{2}{T}\integral_{-T/2}^{+T/2}f(x)\cdot\cos(k\omega x)\, dx=0[/mm]
Die Grundidee ist hier also einfach, dass das Integral einer ungeraden Funktion mit bezüglich $0$ symmetrischem Integrationsintervall gleich $0$ ist.
Aber es kann ohne weiteres der Fall eintreten, dass bei einer, auf den ersten flüchtigen Blick als gerade erscheinende Funktion, sagen wir [mm] $f(x)=\cos(x)$, [/mm] die Fourierkoeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] alle gleich $0$ sind, jedoch die Fourierkoeffizienten [mm] $b_k$ [/mm] nicht $0$ sind.
Du hattes ja bereits ein solches Beispiel in diesem Forum diskutiert: siehe hier. Das Problem bei diesem Beispiel ist, dass das Integrationsintervall [mm] $[0;\pi]$ [/mm] nicht symmetrisch zu $0$ liegt bzw. dass die periodische Fortsetzung von [mm] $f:\, [0;\pi]\ni x\mapsto \cos(x)\in [/mm] [-1;+1]$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] eine ungerade Funktion ergibt (obwohl, wie gesagt, der [mm] $\cos(x)$ [/mm] selbst, aufgefasst als [mm] $\IR\rightarrow [/mm] [-1;+1]$ Funktion, eine gerade Funktion ist).
Man könnte eine allgemeine Regel also so formulieren: für Funktionen $f(x)$, deren periodische Fortsetzung auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] eine gerade Funktion ist, sind alle [mm] $b_k=0$; [/mm] für Funktionen $f(x)$, deren periodische Fortsetzung auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] eine ungerade Funktion ist, sind alle [mm] $a_k=0$.
[/mm]
Die Situation ist also ganz analog zu ganzrationalen Funktionen $f(x)$, bei denen eine Funktion genau dann gerade ist, wenn nur gerade Potenzen von $x$ im Funktionsterm auftreten, bzw. genau dann ungerade ist, wenn nur ungerade Potenzen von $x$ im Funktionsterm auftreten.
Den Summanden gerader Potenzen von $x$ bei Polynomfunktionen entsprechen bei den Fourierreihen die [mm] $\cos(k\omega [/mm] x)$-Summanden; den Summanden ungerader Potenzen von $x$ bei Polynomfunktionen entsprechen bei den Fourierreihen die [mm] $\sin(k\omega [/mm] x)$-Summanden. - Aber über das Gerade/Ungeradesein der Fourierreihe von $f(x)$ entscheidet das Gerade/Ungeradesein der periodischen Fortsetzung der Funktion $f(x)$ auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
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