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Gesamtenergie eines Gummibands: Integral richtig aufstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Sa 07.11.2020
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo!

ich möchte die Gesamtenergie eines schwingenden Gummibands berechen, das zwischen zwei festen Enden eingespannt ist: Daten: Länge [mm] $l=2{,}5\,\mathrm{m}$, [/mm] Ausbreitungsgeschwindigkeit [mm] $c=4\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}$, [/mm] Zustand: Grundschwingung mit Amplitude [mm] $\hat{s}=20\,\mathrm{cm}$. [/mm] Masse [mm] $m=10\,\mathrm{g}$ [/mm] des Gummibands sei gleichmäßig auf seine ganze Länge verteilt.

Die erste Aufgabe sei, Energie des Einzelschwingers in der Mitte mit Masse [mm] $\mathrm{d}m$ [/mm] und Länge [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] berechnen. Da würde ich die Formel:
[mm] $$E_{ges, Einzel}=E_{kin,max}=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot\mathrm{d}x\cdot(2\pi\hat{s}\cdot\tfrac{c}{\lambda=2\cdot L})^2$$ [/mm]
ansetzen. Richtig wie ich denke, oder?

Wenn ich aber nun mit [mm] $f:=\tfrac{c}{2L}$ [/mm] für Energie des gesamten Bandes haben möchte, muss ich dann ansetzen:
[mm] $$E_{ges, Band}=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot\left(2\pi\hat{s}\cdot f\int_{0}^{L}\sin\left(\tfrac{2\pi}{2L}\cdot x\right)\mathrm{d}x\right)^2$$ [/mm] ?
..wahrscheinlich ist dies nicht ganz richtig, denn der Term in den Klammer hat leider nicht die richtige Einheit [mm] $\hat s\cdot f\cdot\mathrm{d}x$ [/mm] ist leider [mm] $\tfrac{m^2}{s}$ [/mm] und nicht die der [mm] Geschwindigkeit$\ldots$:-( [/mm]

Freue mich sehr über Hilfe!

        
Bezug
Gesamtenergie eines Gummibands: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Sa 07.11.2020
Autor: HJKweseleit


> Hallo!
>  
> ich möchte die Gesamtenergie eines schwingenden Gummibands
> berechen, das zwischen zwei festen Enden eingespannt ist:
> Daten: Länge [mm]l=2{,}5\,\mathrm{m}[/mm],
> Ausbreitungsgeschwindigkeit [mm]c=4\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}[/mm],
> Zustand: Grundschwingung mit Amplitude
> [mm]\hat{s}=20\,\mathrm{cm}[/mm]. Masse [mm]m=10\,\mathrm{g}[/mm] des
> Gummibands sei gleichmäßig auf seine ganze Länge
> verteilt.
>
> Die erste Aufgabe sei, Energie des Einzelschwingers in der
> Mitte mit Masse [mm]\mathrm{d}m[/mm] und Länge [mm]\mathrm{d}x[/mm]
> berechnen. Da würde ich die Formel:
> [mm]E_{ges, Einzel}=E_{kin,max}=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot\mathrm{d}x\cdot(2\pi\hat{s}\cdot\tfrac{c}{\lambda=2\cdot L})^2[/mm]
>  
> ansetzen. Richtig wie ich denke, oder? [ok]
>  
> Wenn ich aber nun mit [mm]f:=\tfrac{c}{2L}[/mm] für Energie des
> gesamten Bandes haben möchte, muss ich dann ansetzen:
>  [mm]E_{ges, Band}=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot\left(2\pi\hat{s}\cdot f\int_{0}^{L}\sin\left(\tfrac{2\pi}{2L}\cdot x\right)\mathrm{d}x\right)^2[/mm] [notok]
> ?
>  ..wahrscheinlich ist dies nicht ganz richtig, denn der
> Term in den Klammer hat leider nicht die richtige Einheit
> [mm]\hat s\cdot f\cdot\mathrm{d}x[/mm] ist leider [mm]\tfrac{m^2}{s}[/mm] und
> nicht die der Geschwindigkeit[mm]\ldots[/mm]:-(
>
> Freue mich sehr über Hilfe!




Nicht den Integralwert am Schluss quadrieren, sondern die Geschw.-Quadrate integrieren.

[mm]E_{ges, Band}=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot\int_{0}^{L}\left(2\pi\hat{s}\cdot f\sin\left(\tfrac{2\pi}{2L}\cdot x\right)\right)^2 \mathrm{d}x[/mm] [mm]=\tfrac{1}{2}\tfrac{m}{L}\cdot (2\pi\hat{s}\cdot f)^2 \int_{0}^{L}(\sin\left(\tfrac{2\pi}{2L}\cdot x\right))^2 \mathrm{d}x[/mm]

Dimension ist nun [mm] \bruch{kg}{m}*\bruch{m^2}{s^2}*m= [/mm] kg [mm] \bruch{ m^2}{s^2} [/mm]



Bezug
                
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Gesamtenergie eines Gummibands: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Sa 14.11.2020
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo HJKweseleit,

danke für rasche und hilfreiche Antwort!

Oh, ja, so ein blöder Fehler von mir.  Schimpfe dabei selbst immer über Schüler
die den Energiezuwachs einer Masse, die mit Anfangsgeschwindigkeit [mm] $v_0\neq0$ [/mm] beschleunigt wird falsch aus rechnen (also [mm] $\tfrac12m(v-v_0)^2$ [/mm] schreiben, statt [mm] $\tfrac12m(v^2-v_0^2)$). [/mm] :-D


Bezug
        
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Gesamtenergie eines Gummibands: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 So 08.11.2020
Autor: chrisno

Hallo,

ich habe noch Probleme:
- Handelt es sich um eine longitudinal oder transversale Schwingung?
- Die Energie eines Einzelschwingers hängt doch von dessen Position ab.
An den festen Enden ist sie Null.

Bezug
                
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Gesamtenergie eines Gummibands: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 So 08.11.2020
Autor: HJKweseleit

Wenn du eine Welle an einem festen Ende reflektieren lässt, überlagert sie sich mit der reflektierten Welle, und du erhältst Knoten und Bäuche. Hier ist es genau so, Spezialfall mit nur einem Bauch.

Bei einer Longitudinalwelle hast du eine Verdichtung/Verdünnung im Material, was hier nur minimal der Fall ist (Gummi dehnt sich aus und zieht sich zusammen, aber gleichmäßig).

Bei einer Transversalwelle hast du eine Auslenkung quer zur Ausbreitungsrichtung. Wenn du - wie oben angedeutet - die Bewegung als Sonderfall einer reflektierten Transversalwelle betrachtest, liegst du richtig.

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