Goniometrische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits!
In der Schule haben wir uns viel zu wenig mit dem Gebiet der giniometrischen Gleichungen befasst, jetzt habe ich mir vorgenommen einige Übungen dazu zu machen und komme schon bei der 1. ins stocken. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Ich habe einige fundamentale Fragen:
Ich komme bei der obigen Gleichung nur auf eine Lösung, und zwar:
[mm] \bruch{1}{3}*arccos(0.421)=0,378+K*\bruch{2\pi}{3} [/mm]
Wie komme ich auf die 2. Lösung:
[mm] 1,716+K*\bruch{2\pi}{3} [/mm]
Das verstehe ich leider gar nicht....![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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> cos(3x)=0,421
> Hallo allerseits!
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> In der Schule haben wir uns viel zu wenig mit dem Gebiet
> der giniometrischen Gleichungen befasst, jetzt habe ich mir
> vorgenommen einige Übungen dazu zu machen und komme schon
> bei der 1. ins stocken. Ich habe einige
> fundamentale Fragen:
>
> Ich komme bei der obigen Gleichung nur auf eine Lösung, und
> zwar:
>
> [mm]\bruch{1}{3}*arccos(0.421)=0,378+K*\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Wie komme ich auf die 2. Lösung:
>
> [mm]1,716+K*\bruch{2\pi}{3}[/mm]
>
> Das verstehe ich leider gar nicht....
Hallo,
das heißt "goniometrisch".
Zur Aufgabe:
schau Dir mal den Graphen der cos- Funktion an: er ist smmetrsch zur Senrechten durch die Stelle [mm] \pi.
[/mm]
Dein Taschenrechner wird Dir bei der Umkehrfunktion immer nur Werte zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liefern, den anderen Winkel im Intervall [0, [mm] 2\pi] [/mm] mußt Du Dir mit dem Wissen über die Symmetrie der Funktion noch ausrechnen.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank Angela!
Ich muss aber nochmal nachfragen weil ich das heute nicht ganz auf die Reihe bekomme:
cos(90-3x)=cos(3x)=0,421 Das gilt doch, oder?
90-3x=65.032
x=8,322413
Das stimmt aber leider nicht mit dem Ergebniss überein.Was mache ich falsch?
Gruß
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Vielen Dank Angela!
>
> Ich muss aber nochmal nachfragen weil ich das heute nicht
> ganz auf die Reihe bekomme:
>
> cos(90-3x)=cos(3x)=0,421 Das gilt doch, oder?
Nein, vielmehr gilt
[mm]\cos\left(-3x\right)=\cos\left(3x\right)[/mm]
>
> 90-3x=65.032
>
> x=8,322413
>
> Das stimmt aber leider nicht mit dem Ergebniss überein.Was
> mache ich falsch?
Du musst Deinen Taschenrechner erst auf das Bogenmaß umstellen.
>
> Gruß
>
> Angelika
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo nochmal!
Tut mir leid,ich komme immer noch nicht aufs Ergebniss...Kann mir das bitte noch mal jemand vorrechnen?
Ich habe jetzt so gerechnet:
cos(-3x)=0,421
-3x=65,10226
x=-21,7
Wennn ich das jetzt noch dieser Formel ins Bogenmaß umrechne komme ich wieder auf mein 1. Ergebniss, nur negativ.
[mm] \bruch{-21,7*\pi}{180}=-0,378749
[/mm]
Habe auch schon probiert sin(180-3x)=0,421 zu rechnen, ohne Erfolg..
Danke für die Geduld!
Gruß
Angelika
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> Hallo nochmal!
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> Tut mir leid,ich komme immer noch nicht aufs
> Ergebniss...Kann mir das bitte noch mal jemand vorrechnen?
> Ich habe jetzt so gerechnet:
>
> cos(-3x)=0,421
>
> -3x=65,10226
>
> x=-21,7
>
> Wennn ich das jetzt noch dieser Formel ins Bogenmaß
> umrechne komme ich wieder auf mein 1. Ergebnis, nur
> negativ.
Das ist dann eben ein anderes Ergebnis. Zähle etwa [mm] $360^\circ$ [/mm] dazu, dann erhältst Du ein zweites Ergebnis im Bereich [mm] $]0^\circ;360^\circ[$
[/mm]
Ich würde diese Gleichung so lösen:
[mm]\begin{array}{lcll}
\cos(3x) &=& 0.421 &\big| \arccos\\
3x &=& \pm \arccos(0.421)+k\cdot 360^\circ,k\in \IZ &\big| \div 3\\
x &\approx& \pm 21.7^\circ+k\cdot 120^\circ,k\in \IZ
\end{array}[/mm]
Dies sind alle Lösungen: falls Du nur an Lösungen in einem bestimmten Intervall, z.B. [mm] $[0;360^\circ]$ [/mm] interessiert bist, musst Du nun schauen, für welche $k$ Du aus dieser Formel für die allgemeine Lösung einen Wert in [mm] $[0;360^\circ]$ [/mm] erhältst.
> [mm]\bruch{-21,7*\pi}{180}=-0,378749[/mm]
>
Die allgemeine Lösung einer Gleichung der Form [mm] $\cos(x)=c$ [/mm] ist [mm] $x=\pm \arccos(c)+k\cdot 360^\circ,k\in \IZ$. ($\pm$ [/mm] weil [mm] $\cos$ [/mm] eine gerade Funktion ist).
Die allgemeine Lösung einer Gleichung der Form [mm] $\sin(x)=c$ [/mm] ist jedoch
[mm]x=\begin{cases}\arcsin(c)+k\cdot 360^\circ\\
180^\circ-\arcsin(c)+k\cdot 360^\circ\end{cases},k\in \IZ[/mm]
Am besten machst Du Dir dies am Einheitskreis klar: die Lösungen von [mm] $\cos(x)=c$ [/mm] sind alle die unendlich vielen Winkel, die den (maximal zwei) Schnittpunkten des Einheitskreises mit der vertikalen Geraden aller Punkte mit erster Koordinate $c$ entsprechen.
Analog: die Lösungen von [mm] $\sin(x)=c$ [/mm] sind alle die unendlich vielen Winkel, die den (maximal zwei) Schnittpunkten des Einheitskreises mit der horizontalen Geraden aller Punkte mit zweiter Koordinate $c$ entsprechen.
> Habe auch schon probiert sin(180-3x)=0,421 zu rechnen, ohne
> Erfolg..
Wenn ich einmal annehmen darf, dass $sin(180-3x)=0,421$ eigentlich [mm] $sin(180^\circ-3x)=0,421$ [/mm] bedeuten soll, dann löst man diese Gleichung so:
[mm]\begin{array}{lcll}
\sin(180^\circ-3x) &=& 0.421 &\big| \arcsin\\
180^\circ-3x &=& \begin{cases}\arcsin(0.421)+k\cdot 360^\circ &\approx 24.9^\circ+k\cdot 360^\circ\\
180^\circ-\arcsin(0.421)+k\cdot 360^\circ &\approx 155.1+k\cdot 360^\circ
\end{cases},k\in \IZ &\big| -180^\circ,\div (-3)\\
x &\approx& \begin{cases} 51.7^\circ+k\cdot 120^\circ\\
8.3^\circ+k\cdot 120^\circ
\end{cases},k\in \IZ
\end{cases}
\end{array}[/mm]
Natürlich kann man alles auch im Bogenmass machen - nur gemischter Salat von Bogenmass und Gradmass wäre fatal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 So 27.07.2008 | | Autor: | abakus |
> cos(3x)=0,421
> Hallo allerseits!
>
> In der Schule haben wir uns viel zu wenig mit dem Gebiet
> der giniometrischen Gleichungen befasst, jetzt habe ich mir
> vorgenommen einige Übungen dazu zu machen und komme schon
> bei der 1. ins stocken. Ich habe einige
> fundamentale Fragen:
>
> Ich komme bei der obigen Gleichung nur auf eine Lösung, und
> zwar:
>
> [mm]\bruch{1}{3}*arccos(0.421)=0,378+K*\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Wie komme ich auf die 2. Lösung:
>
> [mm]1,716+K*\bruch{2\pi}{3}[/mm]
Hallo,
ich empfehle dir für den Anfang, solche Aufgaben auch grafisch zu lösen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im konkreten Fall kann man y=cos(3x) und y=0,421 zeichnen und die Schnittstellen ermitteln.
Gruß Abakus
>
> Das verstehe ich leider gar nicht....
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich danke euch!!
Jetzt ist mir der Sachverhalt sehr viel klarer!
Gruß
Angelika
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