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Forum "Knobelaufgaben" - Grenzfunktion für e gesucht
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Grenzfunktion für e gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Sa 06.08.2011
Autor: rabilein1

Aufgabe
Dieses ist kein "Hilfegesuch", sondern eine "Knobel-Aufgabe"

Gesucht ist eine Funktion f(x) mit folgenden Eigenschaften:

Die Funktion ist nur definiert für alle x > 1  

In der Funktion kommen keine Zahlen vor, sondern lediglich die vier Grundrechenarten, Potenzen und Quadratwurzeln.

Und das Wichtigste: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = e   mit e=2.718281828

Vielleicht gibt es ja eine Vielzahl solcher Funktionen, aber das Tollste an meiner Funktion sind die ganzen Quadratwurzeln

Zur Kontrolle hier einige Funktionswerte:

f(1.001) = 63.39264486
f(1.1) = 7.097573386
f(2) = 3.477975878
f(10) = 2.816481173
f(100) = 2.727412827
f(10000) = 2.718372445

Man sieht, dass sich der Funktionswert mit steigendem x immer mehr der Zahl e annähert.

Vielleicht lacht jetzt manch einer von euch über diese Aufgabe, weil es sich um eine allgemeinbekannte Funktion handelt. Aber diese Funktion mit den ganzen Quadratwurzeln darin... - die sieht einfach zu phantastisch aus...

        
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Grenzfunktion für e gesucht: kleiner Tipp ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:28 So 07.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi

hallo rabilein,

könntest du uns vielleicht als minimalen Tipp noch verraten,
wie oft die Variable x in deinem Term vorkommt ?
(im letzten Beispiel [mm] x-\frac{\sqrt{x^x}}{x} [/mm] kam sie vier mal vor)

LG   Al

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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 So 07.08.2011
Autor: rabilein1


> könntest du uns vielleicht als minimalen Tipp noch verraten,
> wie oft die Variable x in deinem Term vorkommt ?

Wenn dir das weiterhilft: fünf Mal



Ein anderer Tipp:

Ich vermute, dass eine andere Formel in Mathematikerkreisen bekannt ist

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = e

in der das f(x) weit weniger kompliziert ist, in der allerdings die Zahlen 1 und 2 vorkommen, dafür aber keine Wurzeln.

Jedenfalls kam ich auf diese neue Formel durch Umwandeln meiner Formel. Und diese neue Formel sieht ganz einfach aus; daher meine Vermutung, dass Mathematiker sie kennen. Außerdem kommt das x dort nur drei Mal vor.

Und wenn du diese bekannte (?) Formel rückwandelst, um die Zahlen 1 und 2 wegzukriegen, dann hättest du meine Formel.


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Grenzfunktion für e gesucht: Ultimativer Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 So 07.08.2011
Autor: rabilein1

Mit der in Mathematikerkreisen bekannten Formel meinte ich, dass zum Beispiel

[mm] (\bruch{10001}{9999})^{5000} \approx [/mm] e

War das allgemein bekannt? Oder ist das völlig neu und überraschend?
Mir war das neu. Aber ich beschäftige mich auch nicht soooo viel mit Mathe.



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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 So 07.08.2011
Autor: fred97


> Mit der in Mathematikerkreisen bekannten Formel meinte ich,
> dass zum Beispiel
>  
> [mm](\bruch{10001}{9999})^{5000} \approx[/mm] e
>  
> War das allgemein bekannt?

ich denke  schon.

>Oder ist das völlig neu und

> überraschend?

Nein.



[mm] (\bruch{10001}{9999})^{5000}=(1+\bruch{2}{9999})^{5000} \approx ((1+\bruch{2}{9999})^{9999})^{1/2} [/mm]

Weiter ist

         [mm] (1+\bruch{2}{9999})^{9999} \approx e^2, [/mm]

denn  [mm] (1+\bruch{2}{n})^{n} \to e^2 [/mm]  (n [mm] \to \infty) [/mm]

FRED


> Mir war das neu. Aber ich beschäftige mich auch nicht
> soooo viel mit Mathe.
>  
>  


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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 So 07.08.2011
Autor: rabilein1


> > War das allgemein bekannt?
>
> ich denke  schon.
>  
> >Oder ist das völlig neu und überraschend?
>
> Nein.

Wenn dieses bekannt ist, dann sollte es möglich sein, durch planvolles Überlegen auf eine Grenzfunktion ganz ohne Zahlen zu kommen.

Ich selber hatte mir die Funktion ausgedacht und dann gesehen,
dass für x [mm] \to \infty [/mm] "zufällig" e rauskam.  


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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 So 07.08.2011
Autor: fred97


> > > War das allgemein bekannt?
> >
> > ich denke  schon.
>  >  
> > >Oder ist das völlig neu und überraschend?
> >
> > Nein.
>  
> Wenn dieses bekannt ist, dann sollte es möglich sein,
> durch planvolles Überlegen auf eine Grenzfunktion ganz
> ohne Zahlen zu kommen.

Meinst Du so:

  [mm] (\bruch{x}{x}+\bruch{\wurzel{x}}{x})^{\wurzel{x}} \to [/mm] e (x [mm] \to \infty) [/mm]

In [mm] (\bruch{x}{x}+\bruch{\wurzel{x}}{x})^{\wurzel{x}} [/mm] kommen keine Zahlen vor. Oder vielleicht doch ? Doch: denn die allgemeine Potenz [mm] a^x [/mm] ist def. als

             [mm] e^{x ln(a)} [/mm]

und da kommt die Zahl e vor !

FRED


>
> Ich selber hatte mir die Funktion ausgedacht und dann
> gesehen,
> dass für x [mm]\to \infty[/mm] "zufällig" e rauskam.  
>  


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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 So 07.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Meinst Du so:
>  
> [mm](\bruch{x}{x}+\bruch{\wurzel{x}}{x})^{\wurzel{x}} \to[/mm] e (x
> [mm]\to \infty)[/mm]
>  
> In [mm](\bruch{x}{x}+\bruch{\wurzel{x}}{x})^{\wurzel{x}}[/mm] kommen
> keine Zahlen vor. Oder vielleicht doch ? Doch: denn die
> allgemeine Potenz [mm]a^x[/mm] ist def. als
>  
> [mm]e^{x ln(a)}[/mm]
>  
> und da kommt die Zahl e vor !
>  
> FRED


Hallo Fred,

rabilein meint natürlich, dass in der Formel typographisch
keine Ziffern vorkommen sollen. Er hat auch schon mal
(in der früheren Aufgabe der gleichen Art) darauf hinge-
wiesen, dass z.B. im Term [mm] \sqrt{x} [/mm] auch eine "versteckte" Zahl 2
vorkommt, nämlich als Wurzelexponent.

LG   Al



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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Mo 08.08.2011
Autor: rabilein1

Al-Chwarizmi schrieb mir in einer Message:
"Es ist relativ leicht, Funktionen mit [mm]\limes_{x\to\infty}f(x)\ =\ e[/mm] anzugeben."

Das war mir vorher gar nicht bewusst. Ich hatte mir eine x-beliebige Funktion ausgedacht, und bemerkte dann, dass bei sehr großen x-Werten die y-Werte sehr nahe an 2.718 waren.

"Das kann doch kein Zufall sein...", habe ich mir dann gesagt.

Wenn Jemand dagegen eine der Funktionen mit [mm]\limes_{x\to\infty}f(x)\ =\ e[/mm] bereits kennt, wird er dagegen leicht auch noch andere "verwandte" Funktionen finden.

Insofern ist es eigentlich völlig egal, welche dieser Funktionen ich ursprünglich gemeint hatte. = Wenn dagegen  Jemand die Zahl e überhaupt nichtg kennt, dann würde er sich bestimmt schon über so einen "komischen" Grenzwert wundern, der aus einer Funktion ganz ohne Zahlen entsteht.

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Grenzfunktion für e gesucht: würzige Formel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Mo 08.08.2011
Autor: rabilein1


> Insofern ist es eigentlich völlig egal, welche dieser
> Funktionen ich ursprünglich gemeint hatte.

Wen es dennoch interessiert, für den ist hier die "würzige" Formel (Ausdruck von Al-Chwarizmi):  

[mm]\sqrt{\frac{x+\sqrt x}{x-\sqrt x}}^{\ \sqrt{x}}[/mm] = f(x)

Im Nachhinein frage ich mich allerdings, wie Jemand quasi aus dem Nichts überhaupt auf so eine Formel kommen kann. Dass deren Grenzwert dann auch noch zufällig die Zahl e ergibt, ist schon fast so wie ein Sechser im Lotto.


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Grenzfunktion für e gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 So 07.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Wenn dir das weiterhilft: fünf Mal

Danke, hat geholfen !

> Ein anderer Tipp:
>
> Ich vermute, dass eine andere Formel in Mathematikerkreisen
> bekannt ist
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = e
>
> in der das f(x) weit weniger kompliziert ist, in der
> allerdings die Zahlen 1 und 2 vorkommen, dafür aber keine
> Wurzeln.

Ich weiß zwar nicht genau, welche Formel dir da vorschwebt -
kein Problem, denn ich habe mittlerweile die Lösung, die mit
großer Wahrscheinlichkeit auch deine ist.

Zur Kontrolle:

     f(ponanapo) = potikénapo

("ké" ist  das Analogon zu unserem Dezimalpunkt auf Triskelos)

LG   Al-Chw.                            


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Grenzfunktion für e gesucht: weitere Möglichkeit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 So 07.08.2011
Autor: rabilein1

Ich habe jetzt sogar noch eine andere Funktion entdeckt, die mit nur vier x (und ganz ohne Zahlen) auskommt.

Die einzelnen Funktionen sind nicht miteinander identisch. Das macht aber nichts. Denn im Unendlichen tendieren alle diese Funktionen gegen e  

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