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Guten morgen.
Ich habe mal eine Frage. Und zwar geht es um den links- und rechtsseitigen Grenzwert. Da habe ich etwas über die h- Methode gefunden, was auf den ersten Blick eigentlich garnicht so schlecht aussieht. Was ich nicht verstehe, ist, wenn ich z.B. folgende Funktion habe:
[mm] f(x)=2x^2 [/mm] und möchte den links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 1 berechnen, dann rechne ich das aus mit:
[mm] 2(1-h)^2 [/mm] für linke Seite und [mm] 2(1+h)^2 [/mm] für rechte Seite. das wäre dann für die linke Seite [mm] (2-4h+2h^2) [/mm] und für die rechte Seite [mm] (2+4h+2h^2) [/mm] woran erkenne ich nun, welchen links- und rechtsseitigen Grenzwert die Funktion hat? Die Stelle 2? Weil der Rest gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Gibt es auch noch andere Methoden, die vielleicht noch einsichtiger sind?
Danke schonmal im Vorraus
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hi
> Guten morgen.
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> Ich habe mal eine Frage. Und zwar geht es um den links- und
> rechtsseitigen Grenzwert. Da habe ich etwas über die h-
> Methode gefunden, was auf den ersten Blick eigentlich
> garnicht so schlecht aussieht. Was ich nicht verstehe, ist,
> wenn ich z.B. folgende Funktion habe:
> [mm]f(x)=2x^2[/mm] und möchte den links- und rechtsseitigen
> Grenzwert an der Stelle 1 berechnen, dann rechne ich das
> aus mit:
> [mm]2(1-h)^2[/mm] für linke Seite und [mm]2(1+h)^2[/mm] für rechte Seite.
ok
> das wäre dann für die linke Seite [mm](2-4h+2h^2)[/mm] und für die
> rechte Seite [mm](2+4h+2h^2)[/mm] woran erkenne ich nun, welchen
> links- und rechtsseitigen Grenzwert die Funktion hat? Die
> Stelle 2? Weil der Rest gegen [mm]\infty[/mm] geht?
wieso geht hier was gegen unendlich? Du möchtest doch nah an 1 kommen. Also nicht h gegen unendlich laufen lassen sondern gegen....0
> Gibt es auch noch andere Methoden, die vielleicht noch
> einsichtiger sind?
wenn du h gegen 0 laufen lässt erscheint dir diese methode glaube ich auch ganz einsichtig 
> Danke schonmal im Vorraus
Lieben Gruß, Guido
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Ja stimmt jetz habe ich es 
Okay aber nun zum nächsten Problem:
Ih habe ja die Funktion [mm] \alpha(cos(x)-1) [/mm] welche ich auf links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=\pi [/mm] untersuchen soll. Wie kann ich das denn hier anstellen?
[mm] x_1=0 [/mm] kann ich mir ja fast sparen, da ich weiß, dass diese durch 0 geht. Aber wie sieht das für [mm] x_2=\pi [/mm] aus?
Das wäre ja einmal für links
[mm] \alpha(cos(\pi-h)-1)
[/mm]
und für rechts
[mm] \alpha(cos(\pi+h)-1)
[/mm]
An der Stelle [mm] \pi [/mm] soll die Funktion die Funktion -1 treffen. Muss ich diese dann gegen -1 gehen lassen?
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Wenn du eine Stelle beobachten willst, beobachtest du sie in einer kleinen umgebung um x.
h geht also immer gegen 0 wenn du x-h und x+h untersuchst.
Wenn du es gegen -1 laufen lässt untersuchst du ja die Stelle [mm] \pi-1
[/mm]
Aber du willst sie an der stelle [mm] \pi [/mm] beobachten. Bei Stellen die nicht kritisch sind, kannst du den Grenzwert immer mit der exakten Berechnung überprüfen.
hier: [mm] \alpha(cos(\pi)-1) [/mm] = [mm] \alpha(-1-1) [/mm] = [mm] -2\alpha
[/mm]
Interessant wird es erst, wenn an der Stelle x die Funktion nicht definiert ist.
z.B. 1/x
Aber auch hier lässt du h gegen 0 laufen und untersuchst die Funktion in der Umgebung [mm] x_0-h x_0+h [/mm] (hier [mm] x_0 [/mm] = 0 wählen, da 1/0 nicht definiert musst du dann den Grenzwert betrachten)
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Okay leuchtet mir ein.
Also ich habe dann für links:
[mm] \alpha(cos(\pi-h)-1)
[/mm]
und für rechts
[mm] \alpha(cos(\pi+h)-1)
[/mm]
wenn ich nur an der Stelle [mm] \pi [/mm] untersuchen will, setze ich h=0 und erhalte
für links als auch für rechts
[mm] \alpha(cos(\pi)-1)
[/mm]
Ich soll nun hrauskriegen wie groß mein [mm] \alpha [/mm] sein muss, damit diese Funktion meine andere Funktion -1 an der Stelle [mm] \pi [/mm] triftt.
[mm] \alpha(cos(\pi)-1)=\alpha(-1-1)=-2\alpha.
[/mm]
Aber das gibt ja noch kein Aufschluss wie meine [mm] \alpha [/mm] definiert sein muss.
Fakt ist allerdings, da [mm] \alpha(cos(\pi)-1) [/mm] sowohl für links als auch für rechts gilt. Hat diese Funktion an der Stelle [mm] \pi [/mm] einen gemeinsamen Grenzwert.
Moment mal:
Ich weiß ja, dass Die Funktion durch die Stelle x=-1 gehen muss, damit diese die andere trifft.
Also:
[mm] -2\alpha=-1 [/mm] :-2
[mm] \alpha=\bruch{1}{2}
[/mm]
Wäre das Korekt???
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> Okay leuchtet mir ein.
> Also ich habe dann für links:
> [mm]\alpha(cos(\pi-h)-1)[/mm]
> und für rechts
> [mm]\alpha(cos(\pi+h)-1)[/mm]
> wenn ich nur an der Stelle [mm]\pi[/mm] untersuchen will, setze ich
> h=0 und erhalte
h gegen 0 konvergieren lassen, nicht setzen. Das ist hier nur zufällig möglich
> für links als auch für rechts
> [mm]\alpha(cos(\pi)-1)[/mm]
> Ich soll nun hrauskriegen wie groß mein [mm]\alpha[/mm] sein muss,
> damit diese Funktion meine andere Funktion -1 an der Stelle
> [mm]\pi[/mm] triftt.
Schreib am besten immer die ganze Aufgabe auf
> [mm]\alpha(cos(\pi)-1)=\alpha(-1-1)=-2\alpha.[/mm]
> Aber das gibt ja noch kein Aufschluss wie meine [mm]\alpha[/mm]
> definiert sein muss.
Wenn sich Funktionen schneiden sollen, sollte man diese mal Gleichsetzen und gucken was raus kommt (hast du ja unten auch gemacht ...)
> Fakt ist allerdings, da [mm]\alpha(cos(\pi)-1)[/mm] sowohl für
> links als auch für rechts gilt. Hat diese Funktion an der
> Stelle [mm]\pi[/mm] einen gemeinsamen Grenzwert.
Hier ist der linke und rechte Grenzwert der selbe, da die Funktion stetig ist (cos(x) verläuft kontinuierlich....ohne Sprung). Betrachtest du mein vorheriges Beispiel 1/x erkennst du, dass das nicht immer so ist
>
>
> Moment mal:
> Ich weiß ja, dass Die Funktion durch die Stelle x=-1 gehen
> muss, damit diese die andere trifft.
äh... die Funktion geht durch die Stelle x=-1? Die Funktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert, und geht daher durch alle x.
> Also:
> [mm]-2\alpha=-1[/mm] :-2
> [mm]\alpha=\bruch{1}{2}[/mm]
Das scheint ein Schnittpunkt zu sein
> Wäre das Korekt???
Falls ich mir deine Aufgabe richtig vorstelle, könnte es korrekt sein
Gruß Guido
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Mi 28.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Ja ist Korekt. Habs im Plotter eingegeben un d der zeigt mir das genauso an also für [mm] 0,5\(cos(x)-1)
[/mm]
Dankeschön für alles
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Guido!
Hier ist die vollständige zugehörige Aufgabe / Funktion ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Master_G_A |
ah... stetige fortsetzung....
dann muss man ja nur den linken limes von [mm] \alpha [/mm] cos... für [mm] x_1 [/mm] betrachten....
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