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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo , ich habe 1-3 kleine Fragen zum Thema Grenzwertberechnung.
1.GW von [mm] (3+6^x)*3^-x [/mm] = [mm] (3+6^x)/3^x [/mm] Nun soll man das Verhalten für x -> +- unendlich prüfen
für x-> unendlich wäre das ja lim [mm] (3+6^x)/3^x [/mm] = [mm] 3+(3^x*2^x)/3^x
[/mm]
teilt man das auf erhält man : [mm] 3/3^x [/mm] + [mm] 2^x
[/mm]
[mm] 2^x [/mm] ist unbeschränkt also konvergiert die folge gegen +unend.
für x-> -unend sieht das schon etwas anders aus :
Als Lösung steht da : lim (3*3^-x + [mm] 2^x) [/mm] , sei unbeschränkt da 3^-x gegen unendl konvergiert.
Nun direkt 2 Fragen : wenn man einen GW bei dem die x-> -unendl gehen untersucht muss man dann vor jedes x ein minus machen ? Wäre hier ja nicht getan !
Zweite Frage : 3^-x konvergiert doch gegen 0 ? da [mm] 1/3^x [/mm] ??
So weit so gut , die zweite Frage folgt direkt :D Diesmal geht es um das Verhalten bei x -> -2 für f(x) = [mm] (x^3 [/mm] + 8)/(x+2) und ob diese fkt stetig ist für f(-2) = 10
Das ganze sollte man ja möglichst nach h-Methode prüfen , würde ich einfach einsetzen müsste die fkt dazu doch stetig sein ? Naja ok im Prinzip kann man es ja einfach einsezen und wenn 10 rauskommt ist f(x) stetig :P.
Nichts destotrotz wollte ich dies mit der h-Methode prüfen :
f(-2+h) = [mm] (-2+h)^3 [/mm] + 8 / (-2+h)+2 , siéht man direkt , dass es unbeschränkt wächst , da h im Nenner alleine steht !
Also ist die Fkt nicht stetig , aber als Lösung machen die das so :
lim [mm] (x^3+8)/(x+2) [/mm] = [mm] 3x^2/1 [/mm] hier hab ich schon aufgehört da [mm] 3x^2 [/mm] doch niemals dasselbe ist wie [mm] x^3 [/mm] .... ?
Nun gut zu meiner letzen Frage :
Hier soll man wieder mal den GW ausrechnen für x-> -3
Ich brauche hier garnicht lang rumreden , und die Aufagbe schreiben , da meine Frage ist : Der "Löser" der Aufgabe :P setzt einfach -3 für f(x) ein , was für mich kompletter Unfug ist da man doch nicht weiss ob f(x) ( f(x) = [mm] (10/x^3) [/mm] +x -(20/x) ) stetig ist , nur wenn sie wirklich stetig wäre , dürfte man f(-3) rechnen , oder ?
Das wars vorerst , danke schonmal :D
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Hallo fndrx,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo , ich habe 1-3 kleine Fragen zum Thema
> Grenzwertberechnung.
> 1.GW von [mm](3+6^x)*3^-x[/mm] = [mm](3+6^x)/3^x[/mm] Nun soll man das
> Verhalten für x -> +- unendlich prüfen
> für x-> unendlich wäre das ja lim [mm](3+6^x)/3^x[/mm] =
> [mm]3+(3^x*2^x)/3^x[/mm]
> teilt man das auf erhält man : [mm]3/3^x[/mm] + [mm]2^x[/mm]
> [mm]2^x[/mm] ist unbeschränkt also konvergiert die folge gegen
> +unend.
> für x-> -unend sieht das schon etwas anders aus :
> Als Lösung steht da : lim (3*3^-x + [mm]2^x)[/mm] , sei
> unbeschränkt da 3^-x gegen unendl konvergiert.
> Nun direkt 2 Fragen : wenn man einen GW bei dem die x->
> -unendl gehen untersucht muss man dann vor jedes x ein
> minus machen ? Wäre hier ja nicht getan !
Nein.
> Zweite Frage : 3^-x konvergiert doch gegen 0 ? da [mm]1/3^x[/mm]
> ??
Wenn [mm]x \to \infty[/mm] geht, dann stimmt das.
>
> So weit so gut , die zweite Frage folgt direkt :D Diesmal
> geht es um das Verhalten bei x -> -2 für f(x) = [mm](x^3[/mm] +
> 8)/(x+2) und ob diese fkt stetig ist für f(-2) = 10
>
> Das ganze sollte man ja möglichst nach h-Methode prüfen ,
> würde ich einfach einsetzen müsste die fkt dazu doch stetig
> sein ? Naja ok im Prinzip kann man es ja einfach einsezen
> und wenn 10 rauskommt ist f(x) stetig :P.
> Nichts destotrotz wollte ich dies mit der h-Methode prüfen
> :
> f(-2+h) = [mm](-2+h)^3[/mm] + 8 / (-2+h)+2 , siéht man direkt ,
> dass es unbeschränkt wächst , da h im Nenner alleine steht
> !
Hier muß der Grenzwrt für [mm]h \to 0[/mm] betrachtet werden.
> Also ist die Fkt nicht stetig , aber als Lösung machen die
> das so :
> lim [mm](x^3+8)/(x+2)[/mm] = [mm]3x^2/1[/mm] hier hab ich schon aufgehört da
> [mm]3x^2[/mm] doch niemals dasselbe ist wie [mm]x^3[/mm] .... ?
Da haben die das nach den ![[]](/images/popup.gif) Regeln von LHospital gemacht.
Siehe auch: Regeln von LHospital - Mathebank
>
> Nun gut zu meiner letzen Frage :
> Hier soll man wieder mal den GW ausrechnen für x-> -3
> Ich brauche hier garnicht lang rumreden , und die Aufagbe
> schreiben , da meine Frage ist : Der "Löser" der Aufgabe :P
> setzt einfach -3 für f(x) ein , was für mich kompletter
> Unfug ist da man doch nicht weiss ob f(x) ( f(x) = [mm](10/x^3)[/mm]
> +x -(20/x) ) stetig ist , nur wenn sie wirklich stetig wäre
> , dürfte man f(-3) rechnen , oder ?
[mm]f\left(x\right)[/mm] ist in [mm]\IR \setminus\left\{0\right\}[/mm] stetig.
Insbesondere auch an x=-3.
>
> Das wars vorerst , danke schonmal :D
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Wie prüft man dann das Verhalten einer Funktion für x -> -unendl. ?
zur h-Methode : Aber wenn h im nenner steht also x/h konvergiert doch die Folge oder Funktion gegen Unendlich ?!
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Hallo fndrx,
> Wie prüft man dann das Verhalten einer Funktion für x ->
> -unendl. ?
Das läßt sich auf das Verhalten der Funktion f(-x) für [mm]x \to \infty[/mm] zurückführen:
[mm]\limes_{x \rightarrow -\infty}f\left(x\right)=\limes_{x \rightarrow \infty}f\left(-x\right)[/mm]
>
> zur h-Methode : Aber wenn h im nenner steht also x/h
> konvergiert doch die Folge oder Funktion gegen Unendlich
> ?!
Zunächst einmal betrachtest Du den Ausdruck
[mm]\bruch{\left(-2+h\right)^3+8}{\left(-2+h\right)+2}[/mm]
für [mm]h \not= 0[/mm].
Hier kannst Du dann gegebenfalls kürzen und dann das [mm] h \to 0[/mm] laufen lassen.
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
[mm] (-2+h)^2 [/mm] + 8 / (-2+h)+2 =
3 2
h - 6·h + 12·h - 8 + 8 / h
[mm] h^3-6h^2+12h [/mm] / h -> [mm] h(h^2-6h+12)/h [/mm] -> g = 12 , stimmt wohl so :P
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Hallo fndrx,
> [mm](-2+h)^2[/mm] + 8 / (-2+h)+2 =
> 3 2
> h - 6·h + 12·h - 8 + 8 / h
>
> [mm]h^3-6h^2+12h[/mm] / h -> [mm]h(h^2-6h+12)/h[/mm] -> g = 12 , stimmt wohl
> so :P
Ja, und benutze doch bitte das nächstemal unseren Formeleditor.
Das erhöht die Lesbarkeit von Formeln ungemein.
Falls Du Dich nicht mit unserem Formeleditor anfreuden kannst,
verwende doch Klammern, um den die Formel eindeutiger zu machen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Ok, werde mich bemühen !
Aber eine letze Frage bleibt , wann darf man , zur Bestimmung eines GW bei einer f(x) , wenn x -> [mm] x_0 [/mm] läuft dieses [mm] x_0 [/mm] einfach in f(x) einsetzen ? also [mm] f(x_0) [/mm] . Denn andernseits würde es ja die h-Methode geben
Ich dachte immer das geht nur , wenn rlim [mm] f(x_0) [/mm] = llim [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
rlim = rechtsseitiger lim llim = links....
Mit anderen Worten , wenn die Fkt stetig ist. Und unter stetig verstehe ich eine Funktion ohne Lücken , bis jetzt :P
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Hallo fndrx,
> Ok, werde mich bemühen !
> Aber eine letze Frage bleibt , wann darf man , zur
> Bestimmung eines GW bei einer f(x) , wenn x -> [mm]x_0[/mm] läuft
> dieses [mm]x_0[/mm] einfach in f(x) einsetzen ? also [mm]f(x_0)[/mm] . Denn
> andernseits würde es ja die h-Methode geben
> Ich dachte immer das geht nur , wenn rlim [mm]f(x_0)[/mm] = llim
> [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]
> rlim = rechtsseitiger lim llim = links....
> Mit anderen Worten , wenn die Fkt stetig ist. Und unter
> stetig verstehe ich eine Funktion ohne Lücken , bis jetzt
> :P
Dieses [mm]x_{0}[/mm] kann man bedenkenlos in die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] einsetzen,
wenn f an dieser Stelle keinen Pol bzw. keine Definitionslücke hat.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Und wenn man [mm] x_0 [/mm] einsetzen kann , heisst das auch automatisch dass der rlim [mm] f(x_0)=llim f(x_0) [/mm] ? Denn wenn ja , für was ist dann die h-Methode zu gebrauchen ?
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Hallo fndrx,
> Und wenn man [mm]x_0[/mm] einsetzen kann , heisst das auch
> automatisch dass der rlim [mm]f(x_0)=llim f(x_0)[/mm] ? Denn wenn ja
> , für was ist dann die h-Methode zu gebrauchen ?
Ja, das heißt zunächst mal,daß rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Ich denke, daß das hier zu zeigen ist.
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}f\left(x_{0}-h\right)=\limes_{h \rightarrow 0}f\left(x_{0}+h\right)[/mm]
Die h-Methode dient ja zur Berechnung von Grenzwerten.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Sorry aber ich muss das einfach nochmal fragen , aber wenn [mm] f(x_0) [/mm] = rlim [mm] f(x_0) [/mm] = llim [mm] f(x_0) [/mm] dann ist doch [mm] f(x_0) [/mm] der GW also kann diese Methode die h-Methode ersetzen !
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Hallo fndrx,
> Sorry aber ich muss das einfach nochmal fragen , aber wenn
> [mm]f(x_0)[/mm] = rlim [mm]f(x_0)[/mm] = llim [mm]f(x_0)[/mm] dann ist doch [mm]f(x_0)[/mm] der
> GW also kann diese Methode die h-Methode ersetzen !
Wenn rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen,
heißt das, daß die Funktion dort stetig ist.
Ist dem nicht so, dann ist die Funktion dort unstetig.
Gruß
MathePower
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