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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert rekursiver Folge
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Grenzwert rekursiver Folge: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:20 Do 21.07.2016
Autor: phifre

Aufgabe
Seien [mm] $a,b\in\mathbb{R}$ [/mm] und die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] rekursiv definiert durch $$ [mm] a_0=a,\qquad a_1=b,\qquad a_n=\bruch{1}{3}(2a_{n-1}+a_{n-2})\quad \mbox{für } n\geq [/mm] 2. $$
Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Hallo,

Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter..
Ich habe schon den Ansatz durch der Telekopsumme mit
$$ [mm] a_n=a_0-\sum_{k=0}^{n-1} (a_k-a_{k+1}) [/mm] $$
und
[mm] $$a_k-a_{k+1}=\frac{1}{3}(a_k+a_{k-1})$$ [/mm]
probiert, befürchte aber, dass ich da in einer Sackgasse bin.

Für Tipps wäre ich sehr dankbar!

Liebe Grüße


        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Do 21.07.2016
Autor: fred97

1. Zeige induktiv:

  [mm] |a_{n+1}-a_n| \le \bruch{1}{3^n}|b-a| [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 0.

2. Zeige dann (ich hoffe ich hab mich nicht vereechnet):

  [mm] |a_{n+k}-a_n| \le \bruch{1}{3^{n-1}}* (\bruch{2}{3})^k|b-a| [/mm]  für n,k [mm] \in \IN. [/mm]

Aus 2. folgt: [mm] (a_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge.

FRED

Bezug
                
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:31 Do 21.07.2016
Autor: phifre

Vielen Dank für die Antwort! Ich habs noch nicht nachgerechnet, aber das sieht ganz Vielversprechen aus.

Wie komme ich aber an den Grenzwert?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:39 Fr 22.07.2016
Autor: hippias

Man benötigt zuerst eine Vermutung. Welchen Grenzwert vermutest Du? Wenn Du noch keine Idee hast, dann rechne die Folge mit verschieden Startwerten durch, bis Du den Grenzwert in Abhängigkeit von $a$ und $b$ angeben kannst. Dann kann man versuchen Deine Vermutung zu beweisen.  

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Fr 22.07.2016
Autor: phifre

Was wäre denn eine Vermutung?
Ich habe schon versucht das ganze in eine geschlossene Form zu bringen, ist mir aber leider nicht gelungen.. Beim ausrechnen der Folgenglieder werden diese nur immer länger mit Brüchen davor..

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Fr 22.07.2016
Autor: HJKweseleit

Mache folgenden Ansatz:

[mm] a_n=\bruch{1}{3}(2a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm]

[mm] a_n+ka_{n-1}=r(a_{n-1}+ka_{n-2}) [/mm]

1. Stelle die 2. Gleichung so um, dass du sie mit der ersten vergleichen kannst, und bestimme daraus k und r.

2. Nenne nun [mm] c_n=a_n+ka_{n-1}. [/mm] damit reduziert sich deine Gleichung nun auf [mm] c_n=rc_{n-1}. [/mm]

3. Jetzt findest du leicht eine Formel für [mm] c_n. [/mm] Zur Kontrolle: [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}a+b [/mm] unabhängig von n.

4. Dann musst du noch das ganze so entflechten, dass du eine Formel für [mm] a_n [/mm] erhältst. Zunächst bekommst du einen Ausdruck der Form

[mm] a_n=s*a_{n-1}+v. [/mm]     (*)

Daraus machst du wieder

[mm] a_n+w=s*(a_{n-1}+w), [/mm] dabei stellst du nach [mm] a_n [/mm] um und vergleichst mit (*). So erhältst du s und w.


Daraus kannst du nun [mm] a_n [/mm] bestimmen.

Zur Kontrolle: [mm] a_n=\bruch{1}{4}a+\bruch{3}{4}b+(- \bruch{1}{3})^n*\bruch{3}{4}(a [/mm] - b)




Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Fr 22.07.2016
Autor: phifre

Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort!

Ich konnte leider noch nicht nachvollziehen, wie Du aus der letzten Gleichung auf [mm] $a_n$ [/mm] kommst..
Zur Kontrolle: Ich habe in meiner Rechnung [mm] $$r=1,\quad k=\frac{1}{3}$$ [/mm] und [mm] $$s=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{b+\frac{1}{3}a},\quad w=-b-\frac{1}{3}a.$$ [/mm] Hast Du das Gleiche?

Liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert rekursiver Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Sa 23.07.2016
Autor: phifre

Danke, hat sich durch Deine Korrektur geklärt!

Bezug
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