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Forum "Uni-Stochastik" - Grenzwertsätze
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Grenzwertsätze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Di 08.02.2011
Autor: wolle238

Aufgabe
[mm] $X_n$ [/mm] sei eine $B(n, v)$-verteilte Zufallsgröße, $n [mm] \in \IN$, [/mm] $0 < v < 1$. Weiterhin sei [mm] $\alpha [/mm] > - [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Zeigen Sie:
(a) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v + n^{\alpha} \right) [/mm] = 0$
(b) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = 1$


Hey ihr!

Ich hänge bei der Aufgabe... :(

Bisher habe ich:
[mm] $\mathbb{P} (\{ X_n = k \}) [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} v^k [/mm] (1 - [mm] v)^{n-k}$ [/mm] (Definition Binomialverteilung)

Dann gilt ja:
[mm] $\mathbb{P} (\{ X_n \ge k \}) [/mm] = [mm]  \summe_{i=k}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i}$ [/mm]

Wenn ich mir jetzt (a) angucke, dann erhalte ich:

[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \ge v + n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n (v + n^{\alpha}) \right) [/mm]  = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \summe_{i=n(v+n^{\alpha})}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i} [/mm] = 0$, da $n(v + [mm] n^{\alpha}) [/mm]  > n$

bei (b) erhalte ich dann:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n (v - n^{\alpha}) \right) [/mm]  = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \summe_{i=n(v-n^{\alpha})}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i}$ [/mm]


Ich denke, ich hab mal wieder voll den falschen Ansatz. Ich hab auch versucht einen passenden Grenzwertsatz zu finden, aber war nix dabei! :(

Kann mir einer Tipps geben?

Viel Dank für eure Hilfe!!

Gruß, Julia

        
Bezug
Grenzwertsätze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Di 08.02.2011
Autor: Fry

Hey,

wende Tschebyscheff an. Dann kommst du schnell ans Ziel.
[mm] E(X_n)=? [/mm]
Bedenke: [mm] P(X_n-E(X_n)>b)\le P(|X_n-E(X_n)|>b) [/mm]

Gruß
Fry


Bezug
                
Bezug
Grenzwertsätze: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:28 Di 08.02.2011
Autor: wolle238

Danke für den Tipp.... Hatte mir das zwar angeguckt, bin aber nie darauf gekommen, dass ich das darauf anwenden kann... :)

Es gilt ja [mm] $\mathbb{E}(X_n) [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] v$ und [mm] $\mathbb{V}(X_n) [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] v(1-v)$

Somit folgt bei (a)

$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n \cdot v - n^{\alpha+1} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge n^{\alpha +1 } \right) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left| X_n - nv \right| \ge n^{\alpha + 1} \right) \overset{Tschebyschev}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{\mathbb{V}}{n^{2(\alpha + 1)}} [/mm] =  [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nv(1-v)}{n^{2(\alpha+1)}} [/mm] = 0$
Wir können ja Tschebyschev nur anwenden, wenn [mm] $n^{\alpha + 1} [/mm] > 0$ gilt. Das ist ja hier der Fall, da $n [mm] \in \IN$. [/mm]

und bei (b) kann ja Tschebyschev nicht angewandt werden, da ja folgt:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge - n^{\alpha +1 } \right)$ [/mm] und $- [mm] n^{\alpha + 1} [/mm] < 0$. :(

Ich verzweifle... :( Da denkt man, dass man es verstanden hat und dann kommt das nächste Problem.... Kann das nicht alles einfach sein?


EDIT: IDEE:
Ich hab mir das jetzt so überlegt:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge - n^{\alpha +1 } \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( - X_n + nv < n^{\alpha +1 } \right) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left| X_n - nv \right| \le n^{\alpha +1 } \right) \overset{Tschebyschev}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] 1 - [mm] \bruch{n v (1-v)}{n^{\alpha + 1}} [/mm] = 1 - [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{v(1-v)}{n^{\alpha}} [/mm] = 1 - 0 = 1$

Das dürfte doch jetzt passen, oder? Darf ich die Umformungen machen: [mm] $X_n [/mm] - nv [mm] \geq -n^{\alpha + 1} \Leftrightarrow [/mm] - [mm] X_n [/mm] + nv < [mm] n^{\alpha+1} [/mm] $ und $nv - [mm] X_n \le [/mm] |nv - [mm] X_n| [/mm] = [mm] |X_n [/mm] - nv|$?



Bezug
                        
Bezug
Grenzwertsätze: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Do 10.02.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Grenzwertsätze: Markov-Ungleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Di 08.02.2011
Autor: wolle238

Aufgabe
Sei [mm] $X_n \sim [/mm] B(n,p), 0 < p < 1, n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeigen Sie [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0, n [mm] \uparrow \infty$ [/mm]

1. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p - \varepsilon \right) \rightarrow [/mm] 0$
2. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p + \varepsilon \right) \rightarrow [/mm] 1$
3. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p \right) \rightarrow \bruch{1}{2}$ [/mm]



Noch ein paar Aufgaben in diese Richtung.

bei 1. stehe ich wieder vor dem Problem, dass $- [mm] \varepsilon \cdot [/mm] n < 0$ gilt.
Also bei der Umformung
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \le p - \varepsilon \right) [/mm]  = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( X_n - n \cdot p \le - \varepsilon \cdot n \right)$ [/mm]

bei 2. erhalte ich
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \le p + \varepsilon \right) [/mm]  = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( X_n - n \cdot p \le \varepsilon \cdot n \right) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n - n \cdot p \right| \le \varepsilon \cdot n \right) \overset{Tschebyschev}{=} \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] 1 - [mm] \bruch{np(1-p)}{\varepsilon^2 n^2} [/mm] =  1 - [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{np(1-p)}{\varepsilon^2 n^2} [/mm] = 1 - 0 = 1 $
Düfte so stimmen, oder?

bei 3. kann ich ja die Markov-Ungleichung anwenden.
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p \right) \overset{Markov}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{E(g(X_n))}{g(p)}$ [/mm]
für eine beliebige monoton steigende Funktion $g: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $\mathbb{E}[g(X)] [/mm] < + [mm] \infty$. [/mm]
Darf ich mir jetzt irgendeine Funktion auswählen?? Wenn ich jetzt einfach $g(x) = 2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] n$ wähle, erhalte ich ja:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{E(g(X_n))}{g(p)} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{np}{2np} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$... [/mm]
Darf ich das einfach so machen?? Da hab ich mir die Funktion ja einfach zusammen gesetzt! Bin ganz verwirrt...

AHHH... Mist... kann da ja doch nicht Markov anwenden! :( Oder gilt wieder: [mm] $\mathbb{P}(\{X_n < a \}) \le [/mm] 1 - [mm] \bruch{\mathbb{E}[g(X)]}{g(a)}$ [/mm] wie auch bei Tschebyschev (Tschebyscheff, Tschebyschow, oder wie auch immer)?


Bezug
                
Bezug
Grenzwertsätze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:04 Mo 14.02.2011
Autor: Walde

Hi wolle,

ich kann was zur letzten Sache sagen:

Wenn g(x)=2*x*n, dann [mm] g(\bruch{X_n}{n})=2*X_n. [/mm] Du hast also einen Faktor 2 im Zähler vergessen. Prinzipiell dürftest du aber jedes g nehmen, dass die nötigen Anforderungen erfüllt.

Vorschlag: betrachte [mm] P(\bruch{X_n}{n}\le p)=P(X_n\le n*p)=P(X_n-n*p\le 0)=P(\bruch{X_n-n*p}{\wurzel{n*p*q}}\le [/mm] 0) und benutze den zentralen GWS.

LG walde

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertsätze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:31 Mo 14.02.2011
Autor: Walde

Für die erste Aufgabe kannste mal das hier durchlesen, wenm du nichts besseres findest. Mit der Aussage des Satzes bzw (der)Aufgabe, der/die da gezeigt wird müsste es gehen.

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