matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesGruppenordnung/Elementordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gruppenordnung/Elementordnung
Gruppenordnung/Elementordnung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gruppenordnung/Elementordnung: Teilbarkeit von Gruppenordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:17 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Aufgabe
Sei [mm](G, \circ) [/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm] sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
[mm] ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
von [mm]G[/mm] teilt.


Hallo,

ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher, ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.

Lösung:
Beweis durch Widerspruch:

Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m [/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
[mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm] Das ist aber ein Widerspruch zur Bedingung in der Annahme mit [mm]0
Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder Bestätigung freuen :)

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 14.11.2016
Autor: hippias


> Sei [mm](G, \circ)[/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm]
> sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
> [mm]ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie,
> dass [mm]ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
>  von [mm]G[/mm] teilt.
>  
> Hallo,
>  
> ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher,
> ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.
>  
> Lösung:
>  Beweis durch Widerspruch:
>  
> Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
>  Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m[/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
>  
> [mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
>  
> [mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
>  
> [mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm]

Aufgrund der minimalen Wahl von $m$! Wäre $m$ irgendeine Zahl mit [mm] $g^{m}=e$, [/mm] dann wäre der Schluss auf $r=0$ falsch.


> Das ist aber ein Widerspruch zur
> Bedingung in der Annahme mit [mm]0
>  
> Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder
> Bestätigung freuen :)

Wenn [mm] $g^{|G|}= [/mm] e$ bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.

>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg


Bezug
                
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

> Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m [/mm] wäre der Schluss auf [mm] r = 0 [/mm] falsch oder nicht??

>  Wenn [mm]g^{|G|}= e[/mm] bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.
>  

Ja [mm]g^{|G|} = e [/mm] ist als Satz im Skript angegeben und ich verweise darauf (hier habe ich es ausgelassen ...)

Danke nochmals

Bezug
                        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Di 15.11.2016
Autor: angela.h.b.


> Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

>

> > Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> > mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

>

> Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund
> der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m[/mm] wäre der Schluss
> auf [mm]r = 0[/mm] falsch oder nicht??

>

Hallo,

Du hast am Ende [mm] g^r=1 [/mm] für 0<r<m.

Der Widerspruch ergibt nun sich daraus, daß m voraussetzungsgemäß die Ordnung von g ist, also die kleinste natürliche Zahl, für die [mm] g^m=1 [/mm] ist.

Deshalb kann [mm] g^r=1 [/mm] nicht sein.

Damit hast Du einen Widerspruch, also teilt m die Gruppenordnung.


Wenn man einfach nur hat [mm] g^k=1, [/mm] ohne daß k die Ordnung von g ist, funktioniert die Argumentation für "dann teilt k die Gruppenordnung" nicht - kein Wunder, dann stimmt sie ja auch nicht.

LG Angela

 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]