Häufungswerte reeller Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 09.06.2004 | | Autor: | MDummy |
Hallo!
Ich finde einfach keinen Ansatz folgende Analysis-Aufgabe zu lösen:
Zeigen oder widerlegen Sie: Eine reelle Folge hat höchstens endlich viele Häufungswerte.
Wäre über jede Hilfe/Anregung dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manuel,
> Hallo!
>
> Ich finde einfach keinen Ansatz folgende Analysis-Aufgabe
> zu lösen:
>
> Zeigen oder widerlegen Sie: Eine reelle Folge hat höchstens
> endlich viele Häufungswerte.
Jetzt hoffe ich, dass Häufungswert das gleiche ist wie Häufungspunkt (ich kenne nur diese Bezeichnung: Häufungspunkt). Ich konstruiere eine Folge nach folgendem Schema (verfolge immer erst die Pfeile nach rechts, und wenn du am Ende einer Zeile angelangt bist, dann erst den Pfeil [m]\downarrow[/m], d.h. am Ende einer Zeile in die folgende Zeile springen...):
[mm]
1
\downarrow
[/mm]
[mm]
1 \rightarrow 2
[/mm]
[mm]
\downarrow
[/mm]
[mm]
1 \rightarrow 2 \rightarrow 3
[/mm]
[mm]
\downarrow
[/mm]
[mm]
1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4
\downarrow
[/mm]
[mm]
1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5
[/mm]
[mm]
\downarrow
[/mm]
[mm]
1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6
...
...
...
[/mm]
d.h. ich starte oben links bei der $1$ und setze [mm] $a_1:=1$, [/mm] bei dem Pfeil [mm] $\downarrow$ [/mm] springe ich in die folgende Zeile und setze [mm] $a_2:=1$, [/mm] dann verfolge ich den nächsten Pfeil und setze [mm] $a_3:=2$, [/mm] dann verfolge ich wieder den Pfeil [mm] $\downarrow$ [/mm] (d.h. ich springe in die nächste Zeile) und setze [mm] $a_4:=1$, $a_5:=2$, $a_6:=3$ [/mm] dann gehe ich wieder in die nächste Zeile und setze [mm] $a_7:=1$,$a_8:=2$, $a_9:=3$, $a_{10}:=4$ [/mm] und so weiter, also mal zur besseren Übersicht:
[mm]
a_1:=1
[/mm]
[mm]
a_2:=1, a_3:=2
[/mm]
[mm]
a_4:=1, a_5:=2, a_6:=3
[/mm]
[mm]
a_7:=1, a_8:=2, a_9:=3, a_{10}:=4
...
...
...
[/mm]
Und? Wieviele Häufungspunkte hat diese Folge? Welches sind die Häufungspunkte?
Du teilst mir dann bitte noch deine Antworten auf meine letzten Fragen zur Kontrolle mit ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Do 10.06.2004 | | Autor: | MDummy |
Hallo Marcel!
Vielen Dank erst mal für Deine schnelle Antwort!
Ich nehme mal an diese Folge hat unendlich viele Häufungswerte.
Bin mir allerdings nicht im klaren warum. Laut unserer Definition von
HW:
a ist HW der Folge b <=> in jeder Umgebung von a liegen unendlich viele Folgeglieder.
oder alternativ:
a ist HW der Folge b <=> Es existiert eine Teilfolge c von b mit lim cn (n gegen unendlich) = a.
Ich verstehe darunter - wenn eine Teilfolge existiert und diese konvergiert, dann ist der Punkt gegen den sie konvergiert ein HW.
D.h. wenn es unendlich viele HWs in einer reellen Folge gibt muss es unendlich viele Teilfolgen geben, welche konvergieren - sehe ich dass richtig?
Nun - Deine Folge hat ja eigentlich unendlich viele Teilfolgen, welche ihre HWs sind weis ich aber nicht.
PS: Entschuldige die umständliche Formelformulierung - ich erhalte immer einen "Fehler auf der Seite"-Fehler wenn ich ein Formelsymbol einfügen will
PPS: Wie schreibt man so eine Folge formal an?
Danke im voraus für Deine Hilfe!!!!!
MfG Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Manuel,
da ich denke, deine Fragen noch schnell beantworten zu können, werde ich dies auch noch schnell versuchen. Bei weiteren Fragen wirst du vermutlich von jemand anderem eine Antwort bekommen, es sei denn, du kannst dich bis Montag gedulden...
> Hallo Marcel!
>
> Vielen Dank erst mal für Deine schnelle Antwort!
>
> Ich nehme mal an diese Folge hat unendlich viele
> Häufungswerte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Ist aber auch irgendwie klar, dass diese Folge unendlich viele haben soll. Und dass es eine reellwertige Folge ist, ist ja auch klar!)
> Bin mir allerdings nicht im klaren warum. Laut unserer
> Definition von
> HW:
> a ist HW der Folge b <=> in jeder Umgebung von a liegen
> unendlich viele Folgeglieder.
1 ist HP (Häufungspunkt), weil die 1 in jeder Zeile steht. Das Folgeglied, was am Anfang jeder Zeile steht (nach der ersten Zeile), liegt also erst Recht in einer (beliebigen) Umgebung der 1.
Und nach Konstruktion gibt es unendlich viele solcher Folgeglieder, da diese am Anfang jeder Zeile stehen und wir unendlich viele Zeilen haben.
2 ist HP, weil nach Konstruktion das zweite Folgenglied einer jeden Zeile (also immer das Folgenglied in der 2en Spalte; ab der 2en Zeile allerdings erst) immer den Wert 2 annimmt, und deshalb haben wir wieder unendlich viele Zeilen mit der 2, also auch unendlich viele Folgenglieder, die den Wert 2 annehmen und damit in jeder Umgebung der 2 liegen.
Analog kannst du das dann weiterüberlegen.
(Die zu der 3 zugehörigen Folgenglieder findet man in der dritten Spalte (allerdings auch erst wieder ab der dritten Zeile) etc.)
Wir wissen dann:
(I) [mm] $\IN \subset HPe((a_n)_{n \in \IN})$ [/mm] (wobei [m]HPe((a_n)_{n \in \IN})[/m] die Menge der Häufungspunkte von [m](a_n)_{n \in \IN}[/m] sein soll).
Tatsächlich gilt sogar:
[m]HPe((a_n)_{n \in \IN})=\IN[/m] (wenn du willst, kannst du ja mal versuchen, das zu beweisen), aber das brauchen wir gar nicht, weil (I) ja auch schon aussagt, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] unendlich viele HP'e hat.
> oder alternativ:
> a ist HW der Folge b <=> Es existiert eine Teilfolge c von
> b mit lim cn (n gegen unendlich) = a.
Auch damit könntest du (genauso) über die Zeilen und Spalten meiner Konstruktion argumentieren.
Es ist aber (zumindest für mich momentan) problematisch, für jede natürlich Zahl explizit die Indizes der zugehörigen Teilfolgen hinzuschreiben, bei 1 wären diese Indizes als (unendliches)Tupel geschrieben:
$T(1):=(1,2,4,7,11,16,...)$ (guck dazu nochmal in die Übersicht:
[mm]
a_1:=1
[/mm]
[mm]
a_2:=1, a_3:=2
[/mm]
[mm]
a_4:=1, a_5:=2, a_6:=3
[/mm]
[mm]
a_7:=1, a_8:=2, a_9:=3, a_{10}:=4
...
...
...
[/mm] ),
weil dann immer gilt: [mm] $a_k=1$ $\forall [/mm] k [mm] \in [/mm] MT(1)$, wobei [m]MT(1):=\{1,2,4,7,11,16,...\}[/m] (ich hoffe, du siehst den Zusammenhang zu [m]T(1)[/m], denn ich will das ganze jetzt nicht zusehr formalisieren).
Ich schreibe das ganze noch für 2 und 3 hin (das heißt dann entsprechend [m]T(2)[/m] bzw. [m]T(3)[/m], aber diese (Indize)-(unendlich-)Tupel sind auch wieder mithilfe der Konstruktion zu "basteln":
$T(2)=(3,5,8,12,17,...)$, $T(3)=(6,9,13,18,...)$.
(Übrigens erkennt man auch hier Zusammenhänge:
bei $T(1)$: $2-1=1$, $4-2=2$, $7-4=3$, $11-7=4$, ...
bei $T(2)$: $5-3=2$, $8-5=3$, $12-8=4$, $17-12=5$,...
bei $T(3)$: $9-6=3$, $13-9=4$, $18-13=5$,...
...
Das ergibt sich nach Konstruktion der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$.) [/mm]
Wenn du ein Schema erkennst, dann kannst du ja mal versuchen, das ganze genauer hinzuschreiben, ich habe dazu, ehrlich gesagt, keine Lust 
> Ich verstehe darunter - wenn eine Teilfolge existiert und
> diese konvergiert, dann ist der Punkt gegen den sie
> konvergiert ein HW.
> D.h. wenn es unendlich viele HWs in einer reellen Folge
> gibt muss es unendlich viele Teilfolgen geben, welche
> konvergieren - sehe ich dass richtig?
(PS: Ich hatte oben mit $T(1),T(2),T(3),...$ mal angefangen, die Indizes der Teilfolgen zu konstruieren/anzugeben!)
Aber hilft dir das hier? Wenn die Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert jede Teilfolge auch gegen [mm] $b:=\limes_{n \to \infty} b_n$ [/mm] und deshalb gibt es auch unendlich viele Teilfolgen, die konvergieren. Allerdings gibt es nur einen HP, nämlich $b$.
Wenn es bei einer Folge allerdings unendlich viele Teilfolgen gibt, so dass diese (alle) gegen paarweise verschiedene Werte konvergieren, dann hat diese Folge auch unendlich viele HWs (wie du sie nennst).
Die Folge, die ich konstruiert hatte, hat unendlich viele Teilfolgen, die gegen paarweise verschiedene Werte konvergieren, also hat sie unendlich viele Häufungspunkte!
> Nun - Deine Folge hat ja eigentlich unendlich viele
> Teilfolgen,
Jede Folge hat unendlich viele Teilfolgen, schau dir bitte einmal genauer die Definition von Teilfolgen an:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf
([m]\rightarrow[/m] Def. 5.22, S. 46 (interne) Zählung oben rechts)
Meine Folge hat unendlich viele konvergente Teilfolgen, und die Grenzwerte dieser Teilfolgen sind dazu noch paarweise verschieden. Also hat meine Folge unendlich viele Häufungspunkte!
(Du hast übrigens oben selbst geschrieben:
> Ich verstehe darunter - wenn eine Teilfolge existiert und
> diese konvergiert, dann ist der Punkt gegen den sie
> konvergiert ein HW.
Was man auch so formulieren kann:
Wenn eine konvergente Teilfolge existiert, dann ist...)
> welche ihre HWs sind weis ich aber nicht.
Die Antwort dieser Frage hast du nun hoffentlich gefunden, denn ich habe es ja jetzt oben geschrieben
> PS: Entschuldige die umständliche Formelformulierung - ich
> erhalte immer einen "Fehler auf der Seite"-Fehler wenn ich
> ein Formelsymbol einfügen will
Dazu ein Tipp:
Guck mal links unter Formeln (unter den Foren bei: Formeln+HTML):
https://matheraum.de/mm (Marcel: Sorry, hatte den falschen Link erwischt, ist jetzt korrigiert: 06.11.2004, 17:27Uhr)
dann kannst du alles auch 'von Hand' eintippen
Und lass dir vielleicht mal den Quelltext anzeigen (dazu findest du auch einen Button). (Und benutze am besten immer die Vorschau vor dem Absenden!)
> PPS: Wie schreibt man so eine Folge formal an?
Das ist eine gute Frage. Versuche mal, diese Indize-Tupel, also [m]T(1), T(2), T(3), T(4),...[/m] hinzuschreiben und mit deren Hilfe die Folge [m](a_n)_{n \in \IN}[/m] anzugeben.
Mir persönlich würde es aber genügen, wenn du diese Konstruktion so beschreibst, wie ich es hier getan habe.
Das würde ich aber mmal mit dem/der Übungsleiter/in bzw. mit einem/einer Korrekteur/in besprechen, wie sie das sehen...
Vielleicht kannst du aber auch eine ähnliche, von den Indizes her schönere Folge konstruieren. Aber nun gut, ich habe jetzt diese genommen...
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Übrigens:
> da ich denke, deine Fragen noch schnell beantworten zu
> können,
Ich habe gemerkt, dass dieses "schnell" meinerseits wohl "vorschnell" war, ich hätte nicht gedacht, dass ich so lange für die Antwort brauche...
Viele Grüße
Marcel
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