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Integration einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Di 24.07.2018
Autor: Pacapear

Aufgabe
Berechnen Sie:

[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$

Hallo zusammen.

Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast aufs richtige Ergebnis.

Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen.

Hier mein Weg:

Ich substituiere $z = 1 + [mm] e^x$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] e^x \gdw \frac{1}{e^x} [/mm] dz = dx$.

[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$

$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} [/mm] dx$

$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{z} [/mm] * [mm] \frac{1}{e^x} [/mm] dz$

$= [mm] \int \frac{e^x}{z} [/mm] dz$

Jetzt forme ich meine Substitution um: $z = 1 + [mm] e^x \gdw [/mm] z-1 = [mm] e^x$ [/mm]

$= [mm] \int \frac{z-1}{z} [/mm] dz$

$= [mm] \int \frac{z}{z} [/mm] - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$

$= [mm] \int [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$

$= [ z - [mm] \ln(|z|) [/mm] ]$

Rücksubstitution liefert $1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.

Rauskommen soll allerdings nur [mm] $e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.

Wo liegt mein Fehler?

Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren Konstante [mm] $C_1$ [/mm] zusammenfassen?

Danke und VG,
Nadine

        
Bezug
Integration einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 24.07.2018
Autor: angela.h.b.


> Berechnen Sie:

>

> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
> Hallo zusammen.

>

> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.

>

> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.

>

> Hier mein Weg:

>

> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].

>

> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]

>

> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]

>

> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]

>

> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].

>

> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].

>

> Wo liegt mein Fehler?

Hallo,

es gibt keinen.

Du hast es ja schon erkannt:

1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C ist genauso richtig wie
54321 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C oder
0+ [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C.

Beim Ableiten merkst Du ja auch, daß das Richtige herauskommt.

LG Angela




>

> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?

>

> Danke und VG,
> Nadine


Bezug
                
Bezug
Integration einer e-Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 24.07.2018
Autor: Pacapear

Super - Danke :-)

Bezug
        
Bezug
Integration einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Mi 25.07.2018
Autor: fred97


> Berechnen Sie:
>  
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
>  Hallo zusammen.
>  
> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.
>  
> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.
>  
> Hier mein Weg:
>  
> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].
>  
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]
>  
> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]
>  
> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]
>  
> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>  
> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>  
> Wo liegt mein Fehler?
>  
> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?

Wie Angela schon sagte : Du hast  alles  richtig gemacht.

Merke: eine Stammfunktion  ist nur  bis  auf  eine  additive Konstante eindeutig  bestimmt.

Noch was :warum lässt denn keiner die Betragsstriche weg?? Es ist doch  [mm] 1+e^x [/mm] >0



>  
> Danke und VG,
>  Nadine


Bezug
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