Irreduzibilität von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 04.07.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei [mm] f:=X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IZ[X] [/mm] ein Polynom.
Folgern Sie: f ist in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel. |
Hallo Freunde der Algebra!
Ich bearbeite grad schon seit einiger Weile die obige Aufgabe. Leider komme ich nicht weiter. Ich habe eine Lösung vor mir, weiß allerdings nicht, warum die Argumentation so gilt. Und zwar:
Sei [mm] f_{p} [/mm] f modulo p gerechnet.
[mm] f_{2} [/mm] zerfällt in einen Linearfaktor und ein Polynom vom Grad 3.
[mm] f_{3} [/mm] ist irreduzibel, hat also insbesondere keine Nullstelle.
[mm] \Rightarrow [/mm] f irreduzibel in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Jetzt frage ich mich eben, warum und wie man von der Darstellung von f in verschiedenen Restklassenkörpern (oder reichen sogar Ringe) auf die Irreduzibilität in [mm] \IZ[X] [/mm] schließen kann?
Und dann hab ich schon mehrfach gelesen, dass aufgrund des Lemmas von Gauß gilt: f irreduzibel in [mm] \IZ[X] \Rightarrow [/mm] f irreduzibel in [mm] \IQ[X].
[/mm]
Somit wäre ich dann ja durch.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke schonmal!
Viele Grüße!
skoopa
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Hallo skoopa [  ],
> Sei [mm]f:=X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IZ[X][/mm] ein Polynom.
> Folgern Sie: f ist in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel.
> Hallo Freunde der Algebra!
> Ich bearbeite grad schon seit einiger Weile die obige
> Aufgabe. Leider komme ich nicht weiter. Ich habe eine
> Lösung vor mir, weiß allerdings nicht, warum die
> Argumentation so gilt. Und zwar:
>
> Sei [mm]f_{p}[/mm] f modulo p gerechnet.
> [mm]f_{2}[/mm] zerfällt in einen Linearfaktor und ein Polynom vom
> Grad 3.
> [mm]f_{3}[/mm] ist irreduzibel, hat also insbesondere keine
> Nullstelle.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f irreduzibel in [mm]\IZ[X].[/mm]
>
> Jetzt frage ich mich eben, warum und wie man von der
> Darstellung von f in verschiedenen Restklassenkörpern
> (oder reichen sogar Ringe) auf die Irreduzibilität in
> [mm]\IZ[X][/mm] schließen kann?
> Und dann hab ich schon mehrfach gelesen, dass aufgrund des
> Lemmas von Gauß gilt: f irreduzibel in [mm]\IZ[X] \Rightarrow[/mm]
> f irreduzibel in [mm]\IQ[X].[/mm]
> Somit wäre ich dann ja durch.
Hier habe ich das schon gefragt.
Grüße,
Stefan
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