Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Sei [mm] f:\IR^{3}\to\IR, f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2} [/mm] und [mm] g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t}). [/mm] Berechnen Sie die Ableitung von [mm] f\circ [/mm] g auf zwei verschiedene Arten:
i. Direkt durch Berechnung von h(t) = f(g(t)) und Differenzieren von h.
ii. Durch Anwenden der Kettenregel.
(b) Betrachten Sie die Abbildung [mm] h:\IR^{n}\backslash\{0\}\to\IR, h(x_{1},x_{2},...,x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}
[/mm]
Berechnen Sie den Gradienten von h, in dem Sie h darstellen als Verkettung von Funktionen, deren Ableitung Sie bereits kennen. |
Hi,
ich habe hier irgendwie keine Ahnung, womit ich anfangen soll .(
wie leite ich die funktion ab? was muss ich beachten?
Danke im Vorraus.
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Hallo monstre123,
> (a) Sei [mm]f:\IR^{3}\to\IR, f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2}[/mm] und
> [mm]g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t}).[/mm] Berechnen Sie
> die Ableitung von [mm]f\circ[/mm] g auf zwei verschiedene Arten:
> i. Direkt durch Berechnung von h(t) = f(g(t)) und
> Differenzieren von h.
> ii. Durch Anwenden der Kettenregel.
>
>
>
>
> (b) Betrachten Sie die Abbildung
> [mm]h:\IR^{n}\backslash\{0\}\to\IR, h(x_{1},x_{2},...,x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}[/mm]
>
> Berechnen Sie den Gradienten von h, in dem Sie h darstellen
> als Verkettung von Funktionen, deren Ableitung Sie bereits
> kennen.
> Hi,
>
> ich habe hier irgendwie keine Ahnung, womit ich anfangen
> soll .(
Beginne mit i. von a)
Setze hier die Funktion g direkt in die Funktion f ein
und differenziere dann nach t.
>
> wie leite ich die funktion ab? was muss ich beachten?
>
Beachten mußt Du nur, daß
[mm]g\left(t\right)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
>
> Danke im Vorraus.
Gruss
MathePower
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Moin,moin,
so hier die Lösungen zur a)--> i) :
[mm] f:\IR^{3}\to\IR [/mm] , [mm] f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2}
[/mm]
[mm] g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t})
[/mm]
[mm] h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+2t{2}*sin(t)
[/mm]
[mm] h'(t)=(e^{e^{t}}*sin(t)+e^{e^{t}}*cos(t))+(4t*sin(t)+2t^{2}*cos(t))
[/mm]
[mm] =e^{e^{t}}(sin(t)+cos(t))+2t [/mm] (2*sin(t)+tcos(t))
richtig?
zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die ergebnisse addieren?
thx
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Hallo monstre123,
> Moin,moin,
>
> so hier die Lösungen zur a)--> i) :
>
> [mm]f:\IR^{3}\to\IR[/mm] , [mm]f(x,y,z)=e^{z}y+x^{2}y^{2}[/mm]
>
> [mm]g:\IR\to\IR^{3}, g(t)=(2t^{2},sint,e^{t})[/mm]
>
>
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+2t{2}*sin(t)[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]
>
> [mm]h'(t)=(e^{e^{t}}*sin(t)+e^{e^{t}}*cos(t))+(4t*sin(t)+2t^{2}*cos(t))[/mm]
>
> [mm]=e^{e^{t}}(sin(t)+cos(t))+2t[/mm] (2*sin(t)+tcos(t))
>
Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.
>
> richtig?
>
>
> zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> ergebnisse addieren?
Siehe hier: Kettenregel
>
> thx
Gruss
MathePower
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> Das muss doch so lauten:
>
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]
>
>
Klar, sry hatte die hoch 2 vergessen :P
>
> Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
>
>
> Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.
>
Habe die hier Kettenregel angewandt:
innere Ableitung: [mm] r(x)=e^{t} [/mm] --> [mm] r'(x)e^{t}
[/mm]
äußere Ableitung: [mm] s(x)=e^{(...)} [/mm] --> [mm] s'(x)=e^{(...)}
[/mm]
insgesamt: [mm] t(x)=e^{e^{t}} [/mm] --> [mm] t'(x)=e^{e^{t}}
[/mm]
> >
> > zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> > ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> > ergebnisse addieren?
>
>
> Siehe hier:
> Kettenregel
>
Ich weiß wie die Kettenregel angewendet wird^^ aber auf welche funktion soll ich sie anwenden?
Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
Vielen Dank.
Gruss Monstre
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Hallo monstre123,
>
> > Das muss doch so lauten:
> >
> >
> [mm]h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+\red{\left(2t^{2}\right)^{2}*sin^{2}(t)}[/mm]
> >
> >
>
> Klar, sry hatte die hoch 2 vergessen :P
>
>
>
> >
> > Die Ableitung des ersten Summanden stimmt nicht.
> >
> >
> > Für [mm]e^{e^{t}}[/mm] mußt Du die Kettenregel anwenden.
> >
>
>
> Habe die hier Kettenregel angewandt:
>
> innere Ableitung: [mm]r(x)=e^{t}[/mm] --> [mm]r'(x)e^{t}[/mm]
>
> äußere Ableitung: [mm]s(x)=e^{(...)}[/mm] --> [mm]s'(x)=e^{(...)}[/mm]
>
> insgesamt: [mm]t(x)=e^{e^{t}}[/mm] --> [mm]t'(x)=e^{e^{t}}[/mm]
>
Hier hast Du die innere Ableitung von [mm]e^{e^{t}}[/mm] vergessen.
>
>
> > >
> > > zur ii) wie soll ich das mit der kettenregel ableiten? soll
> > > ich jeweils für f und g die kettenregel anwenden und die
> > > ergebnisse addieren?
> >
> >
> > Siehe hier:
> > Kettenregel
> >
>
>
> Ich weiß wie die Kettenregel angewendet wird^^ aber auf
> welche funktion soll ich sie anwenden?
>
Nun, auf die verkettete Funktion f (g(t) ).
>
>
> Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
>
h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruss Monstre
>
Gruss
MathePower
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> > Habe die hier Kettenregel angewandt:
> >
> > innere Ableitung: [mm]r(x)=e^{t}[/mm] --> [mm]r'(x)e^{t}[/mm]
> >
> > äußere Ableitung: [mm]s(x)=e^{(...)}[/mm] --> [mm]s'(x)=e^{(...)}[/mm]
> >
> > insgesamt: [mm]t(x)=e^{e^{t}}[/mm] --> [mm]t'(x)=e^{e^{t}}[/mm]
> >
>
>
> Hier hast Du die innere Ableitung von [mm]e^{e^{t}}[/mm] vergessen.
Ach jetzt verstehe ich was du gemeint hast :):
[mm] t(x)=e^{e^{t}} [/mm] --> [mm] t(x)=e^{e^{t}}*e^{t}
[/mm]
> > Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
> >
>
>
> h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.
Bringt mich ehrlich gesagt irgendwie nicht weiter :(
ich habe zwar h gegeben, aber wie soll ich da an der allgemeinen Form verketten?
[mm] h(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{x_{1}^{2}}}+\bruch{1}{\wurzel{x_{2}^{2}}}+...+\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}}}
[/mm]
gruss
monstre
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Hallo monstre123,
>
> > > Zusatz: Was soll ich bei der b) machen ?
> > >
> >
> >
> > h zunächst als Verkettete Funktion schreiben.
>
>
> Bringt mich ehrlich gesagt irgendwie nicht weiter :(
> ich habe zwar h gegeben, aber wie soll ich da an der
> allgemeinen Form verketten?
>
> [mm]h(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\bruch{1}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{x_{1}^{2}}}+\bruch{1}{\wurzel{x_{2}^{2}}}+...+\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}}}[/mm]
Das kannst Du nicht so schreiben.
Zum Beispiel:
[mm]h\left(u\right)=\bruch{1}{u}[/mm]
[mm]u\left(v\right)=\wurzel{v}[/mm]
[mm]v\left(x_{1}, \ ... \ , \ x_{n}\right)=\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}[/mm]
>
>
>
> gruss
> monstre
>
Gruss
MathePower
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abend,
also ich habe zwar die funktion [mm] h(t)=f(g(t))=e^{e^{t}}*sin(t)+(2t^{2})^{2}*sin^{2}(t) [/mm] und habe sie schon differenziert, aber was meinen die mit der Kettenregel? ich musste doch teilweise die kettenregel anwenden z.B. beim Term [mm] e^{e^{t}}? [/mm] was soll ich dieser aufgabe tun?
danke im vorraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mo 31.05.2010 | | Autor: | monstre123 |
das ist bezogen auf die a,ii), hatte ich vergessen zu erwähnen :P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Di 01.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst die Kettenregel für f(g) anwenden, wenn du sie innerhalb g oder f noch mal für einzelne Terme brauchst ist as eben so.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 So 30.05.2010 | | Autor: | monstre123 |
was muss man bei der machen?
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