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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 09.05.2005 | | Autor: | arzoo |
Wir sollen diese Gleichung lösen.
[mm] z^6 -2z^3=3 [/mm]
Mein Lösungsansatz: Substitution : [mm] x=z^3 [/mm]
Ich erhalte dann die Gleichung :
[mm] x^2 [/mm] -2x=3
[mm] x^2-2x [/mm] -3 = 0
Einsetzen in der pq Formel
Lösung x= 1 +- sqr 4
Rücksubstituion :
z = 3te sqr x
z = sqr 1 +- sqr 4
|x|= sqr 1+4 = sqr 5 ,dann ist x1 = 3, x2 = -1 ; also
Arg(x1) = 0
Arg(x2) = pi
jetzt komme ich nicht mehr weiter , kann mir jemand zeigen wie ich jetzt weiter machen mus die komplexen Lösungen zu finden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo arzoo!
> Wir sollen diese Gleichung lösen.
> [mm]z^6 -2z^3=3[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz: Substitution : [mm]x=z^3[/mm]
>
> Ich erhalte dann die Gleichung :
> [mm]x^2[/mm] -2x=3
> [mm]x^2-2x[/mm] -3 = 0
>
> Einsetzen in der pq Formel
> Lösung x= 1 +- sqr 4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und weiter?
$x \ = \ 1 [mm] \pm \wurzel{4} [/mm] \ = \ 1 [mm] \pm [/mm] 2$
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1 - 2 \ = -1$
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1 + 2 \ = \ +3$
Damit wird:
[mm] $z_1^3 [/mm] \ = \ [mm] (a_1 [/mm] + [mm] i*b_1)^3$
[/mm]
$= \ [mm] a_1^3 [/mm] + [mm] 3*a_1^2*(i*b_1) [/mm] + [mm] 3*a_1*(i*b_1)^2 [/mm] + [mm] (i*b_1)^3$
[/mm]
$= \ [mm] a_1^3 [/mm] + [mm] i*3a_1^2b_1 [/mm] - [mm] 3a_1b_1^2 [/mm] - [mm] i*b_1^3 [/mm] \ = \ -1$
Diesen Ausdruck nun sortieren sowie zusammenfassen und anschließend über Koeffizientenvergleich [mm] $Re(z_1) [/mm] \ = \ -1$ bzw. [mm] $Im(z_1) [/mm] \ = \ 0$ den Realteil und Imaginärteil bestimmen.
Ich erhalte (bitte nachrechnen):
[mm] $z_{1/1} [/mm] \ = \ -1 + i*0 \ = \ -1$
[mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] i*\bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $z_{1/3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] i*\bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
Analog mit der 2. Lösung [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] z_2^3 [/mm] \ = \ 3$ vorgehen.
Nun die Vorgehensweise klar(er) ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 09.05.2005 | | Autor: | arzoo |
hmmm diesen Ansatz verstehe ich gar nicht .
Ich hatte eigentlich gedacht das sobald ich den Winkel und den Betrag habe nur noch einsetzen muss in die Formel .
[mm] \wurzel[n]{|z|} [/mm] *e^(i*fi+2k [mm] \pi/n)
[/mm]
aber irgendwie hatte ich probleme dabei, ich habe es bei einer anderen Aufgabe probiert bin aber immer auf die Falsche Lösung gekommen .
Können sie mir vileicht diesen Ansatz erläutern ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo arzo,
benutz doch bitte den Formeleditor, da bekommt man ja Augenkrebs! 
Du kannst auch mit der Darstellung in Polarkoordinaten arbeiten:
[mm] $z=r\cdot e^{i\varphi}$
[/mm]
Also ist
[mm] $z^3=r^3 \cdot e^{i 3\varphi}=1\cdot e^{i \pi + i2\pi k}=-1$
[/mm]
Daraus folgt dann $r=1$ und [mm] $\varphi_k=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}$ [/mm] für $k=0;1;2$. Bestimmt man jetzt [mm] $z_k$ [/mm] durch [mm] $z_k=r\cdot \left( cos(\varphi_k)+i\sin(\varphi_k)\right)$ [/mm] kommt man zu den gleichen Lösungen.
Analoges gilt für [mm] $z^3=3$.
[/mm]
Gruß Max
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