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| Aufgabe 1 | Es seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] bescränkte reelle Zahlenfolgen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) [mm] \limes inf_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = - [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} (-a_n)
[/mm]
(b) [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] + [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Zahlenfolge und definiere [mm] (x_n) [/mm] durch
[mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_k
[/mm]
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ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme bei obigen Aufgaben nicht weiter.
Bei allen Aufgaben fehlt mir auch ein richtiger Ansatz, bei der 2. dachte ich mir er könnte helfen es indirekt zu beweisen, aber auch da komme ich nicht weit.
Also wäre es nett, wenn mir jemand helfen könnte. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] bescränkte reelle Zahlenfolgen.
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
>
> (a) [mm]\limes inf_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = - [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} (-a_n)[/mm]
>
> (b) [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} (a_n[/mm] + [mm]b_n)[/mm] = [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> + [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine
> Zahlenfolge und definiere [mm](x_n)[/mm] durch
> [mm]x_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_k[/mm]
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich komme bei obigen Aufgaben nicht weiter.
> Bei allen Aufgaben fehlt mir auch ein richtiger Ansatz,
> bei der 2. dachte ich mir er könnte helfen es indirekt zu
> beweisen, aber auch da komme ich nicht weit.
> Also wäre es nett, wenn mir jemand helfen könnte. :)
Zu 1. (a)
$ [mm] \limes inf_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] $ ist der kleinste Häufungspunkt von [mm] (a_n)
[/mm]
Was ist dann der größte Häufungspunkt von [mm] (-a_n) [/mm] ?
Zu 1 (b)
suche mal Folge [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] a_n+b_n [/mm] = 0 für jedes n und
$ [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] $ + $ [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} b_n> [/mm] 0 $
Zu 2: Da fehlt doch einiges ! [mm] (a_n) [/mm] soll wohl konvergent sein und zu zeigen ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n= \limes_{n\rightarrow\infty}a_n.
[/mm]
Stimmts ?
FRED
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Hallo,
wenn dem so sein sollte, wie Fred bei 2. geschrieben hat, dann schau hier.
Das ist zwar für den Spezialfall einer Nullfolge, aber das Prinzip ist genau dasselbe.
Grüße,
Stefan
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zu 1 (a)
Ja, ich kann mir schon denken, dass die Gleichung stimmt und der größte HP von [mm] a_n, [/mm] der kleinste von [mm] -a_n [/mm] ist und umgekehrt, aber wie stelle ich das denn dar?
zu 1 (b)
Naja, ich denke mal, z.b. [mm] a_n [/mm] = sin n und [mm] b_n [/mm] = -sin n, deren lim sup wäre ja jeweils 1. Also hätte ich die Aussage damit widerlegt?! Dann dafür schonmal herzlichen Dank. :D
Hätte ich mir eigentlich denken können müssen, dass man das widerlegen kann, denn die nächste Aufgabe ist genau die Gleiche mit einem " <= ".^^
zu 2
Ja ist genau richtig, tut mir leid, die Aufgabe habe ich völlig vergessen. xD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> zu 1 (a)
>
> Ja, ich kann mir schon denken, dass die Gleichung stimmt
> und der größte HP von [mm]a_n,[/mm] der kleinste von [mm]-a_n[/mm] ist und
> umgekehrt, aber wie stelle ich das denn dar?
Sei a = lim inf [mm] a_n. [/mm] Dann gilt: a [mm] \le [/mm] b für jeden Häufungspunkt b von [mm] (a_n)
[/mm]
Also: $-b [mm] \le [/mm] -a$ für jeden Häufungspunkt b von [mm] (a_n)
[/mm]
Damit ist -a der größte Häufungspunkt von [mm] (-a_n)
[/mm]
>
> zu 1 (b)
>
> Naja, ich denke mal, z.b. [mm]a_n[/mm] = sin n und [mm]b_n[/mm] = -sin n,
>
> deren lim sup wäre ja jeweils 1.
Warum ??
> Also hätte ich die
> Aussage damit widerlegt?! Dann dafür schonmal herzlichen
> Dank. :D
Einfacher gehts mit [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
FRED
> Hätte ich mir eigentlich denken können müssen, dass man
> das widerlegen kann, denn die nächste Aufgabe ist genau
> die Gleiche mit einem " <= ".^^
>
> zu 2
>
> Ja ist genau richtig, tut mir leid, die Aufgabe habe ich
> völlig vergessen. xD
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Mo 23.11.2009 | | Autor: | puschel89 |
>
> Sei a = lim inf [mm]a_n.[/mm] Dann gilt: a [mm]\le[/mm] b für jeden
> Häufungspunkt b von [mm](a_n)[/mm]
>
> Also: [mm]-b \le -a[/mm] für jeden Häufungspunkt b von [mm](a_n)[/mm]
>
> Damit ist -a der größte Häufungspunkt von [mm](-a_n)[/mm]
Achso und das reicht so?! Dann Danke vielmals. ^.^
>
>
> Warum ??
Naja ich dachte sin n hat die Schranken -1 und 1 und -sin n, dann entsprechend umgekehrt und damit auch den Grenzwert, aber das war ziemlich blöd...
Jedenfalls Danke für deine/eure Hilfe!!
Die 2. Aufgabe kriege ich mit Hilfe des anderen Threads wohl hoffentlich auch alleine hin. :)
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