Matrixexponential berechnen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Di 05.07.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für Matrizen A und B mit AB=BA schon [mm] e^{A+B}=e^{A}*e^{B} [/mm] gilt.
Ist die Bedingung AB=BA notwendig (Gegenbeispiel oder Beweis für allgemeinen
Fall)?
Sei J eine Matrix in Jordanscher Normalform. Berechnen Sie
[mm] e^{J} [/mm] (Tipp: zunächst [mm] e^{J_{i}}).
[/mm]
Sei A eine beliebige n×n-Matrix, äquivalent zur Matrix J aus obigen Aufgabenteil,
d.h. [mm] QAQ^{-1}=J [/mm] für geeignetes [mm] Q\in\IC^{nxn}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] e^{A}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe zu dieser Aufgabe noch eine Frage, da ich mir bezüglich des Lösungsansatzes unsicher bin. Den ersten Aufgabenteil habe ich gelöst, dass war soweit kein Problem. Meine Schwierigkeit liegt im zweiten und somit auch im dritten.
Um [mm] e^{J} [/mm] zu berechnen wollte ich so vorgehen:
[mm] e^{t*J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & \\ & \ddots \\ & & J_{n}})=exp(t*\pmat{\lambda_{1} & 1 & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} & 1}).
[/mm]
Leider weiß ich hier schon nicht weiter, denn eine explizite Lösung kann ich mir so ja nicht konstruieren. Oder übersehe ich da was? Ist mein Ansatz falsch?
Danke für die Hilfe.
Gruß
Ardbeg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Schau mal da rein:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~wegert/Lehre/DynSys/Jordan.pdf
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Danke für den Link, er hat mir geholfen, wenn ich auch nicht sicher bin, ob ich dem Ergebnis nähergekommen bin. Ich führe mal meine Gedanken aus.
[mm] e^{J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n} })=\pmat{e^{J_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{J_{n}} }
[/mm]
Es gilt: [mm] J_{i}=\lambda_{i}*E_{i}+N_{i} [/mm] ; wobei [mm] E_{i} [/mm] die Einheitsmatrizen sind, [mm] N_{i}, [/mm] die Nebendiagonale, die mit Einsen besetzt ist. Dabei ist [mm] N_{i} [/mm] eine nilpotente Matrix.
[mm] e^{J_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*e^{N_{i}}
[/mm]
da [mm] (\lambda_{i}*E_{i})*N_{i}=N_{i}*(\lambda_{i}*E_{i})
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{J}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*\pmat{1 & \bruch{t^{1}}{1!} & \bruch{t^{2}}{2!} & \cdots & \bruch{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots & \bruch{t^{n-2}}{(n-2)!} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots & \bruch{t^{1}}{1!} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}
[/mm]
Das dürfte doch soweit stimmen, oder?
Gruß
Ardbeg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Link, er hat mir geholfen, wenn ich auch
> nicht sicher bin, ob ich dem Ergebnis nähergekommen bin.
> Ich führe mal meine Gedanken aus.
>
> [mm]e^{J}=exp(t*\pmat{ J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n} })=\pmat{e^{J_{1}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{J_{n}} }[/mm]
>
> Es gilt: [mm]J_{i}=\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}[/mm] ; wobei [mm]E_{i}[/mm] die
> Einheitsmatrizen sind, [mm]N_{i},[/mm] die Nebendiagonale, die mit
> Einsen besetzt ist. Dabei ist [mm]N_{i}[/mm] eine nilpotente Matrix.
>
> [mm]e^{J_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}+N_{i}}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*e^{N_{i}}[/mm]
>
> da [mm](\lambda_{i}*E_{i})*N_{i}=N_{i}*(\lambda_{i}*E_{i})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow e^{J}=e^{\lambda_{i}*E_{i}}*\pmat{1 & \bruch{t^{1}}{1!} & \bruch{t^{2}}{2!} & \cdots & \bruch{t^{n-1}}{(n-1)!} \\ 0 & \ddots & \ddots & \cdots & \bruch{t^{n-2}}{(n-2)!} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots & \bruch{t^{1}}{1!} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1}[/mm]
>
> Das dürfte doch soweit stimmen, oder?
Ja, stimmt.
FRED
>
> Gruß
> Ardbeg
|
|
|
|
