Maximale Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 02.06.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die größtmögliche Fläche eines Feldes, was durch eine 400 Meter lange Laufbahn umschlossen ist. Die Laufbahn besteht aus zwei gleich langen Geraden und zwei Halbkreisen mit gleichem Radius. |
Hallo zusammen, soweit die Aufgabe. Ich habe mir zunächst einmal eine Skizze gemacht, um mir das Problem zu veranschaulichen.
Ich habe die beiden langen Seiten a genannt. Damit bin ich auf folgende Formeln gekommen:
Gesamtumfang: [mm] 2a + 2*Pi*r = 400 m [/mm]
Gesamtfläche: [mm] 2ar + r^2*Pi [/mm]
Der erste Teil in den Formeln gibt praktisch das Rechteck wieder, der zweite Teil den Kreisanteil.
Nun habe ich mir folgendes überlegt:
Das Maximum der Fläche ist ihre erste Ableitung = Null, also:
[mm] F'(r) = 2a+2*r*Pi = 0 [/mm] (abgeleitet nach r)
Die Fläche wäre also maximal bei folgendem Radius r:
[mm] r= - \bruch {a}{Pi} [/mm] (aufgelöst nach r)
wobei mich das Minus schon ein wenig stört.
Nun bestimme ich das F an der Stelle [mm] r= - \bruch {a}{Pi} [/mm]
[mm] F (- \bruch {a}{Pi}) = 2a*(- \bruch {a}{Pi}) + Pi*(- \bruch {a}{Pi})^2 [/mm]
[mm] F (- \bruch {a}{Pi}) = -\bruch {3a^2}{Pi} [/mm]
Nun setze ich den gefundenen Radius [mm] r= - \bruch {3a^2}{Pi} [/mm] in die Formel für den Umfang ein, um a zu bestimmen:
[mm] 2a + 2*Pi*r = 400 m [/mm]
[mm] 2*(a + Pi*r) = 400 m [/mm] (2 ausgeklammert)
[mm] 2*(a + Pi*-\bruch {3a^2}{Pi}) = 400 m [/mm]
und komme dann auf den Ausdruck:
[mm] a - 3a^2 = 200 m [/mm]
also eine quadratische Gleichung. Und weiter, Lösung durch quadratische Ergänzung, sprich p/q-Formel, oder...?
Da ich mir überhaupt nicht sicher bin, ob ich richtig gerechnet habe (denke aber, das mein Ansatz richtig ist), bitte ich euch um eure Hilfe. Vielen Dank und viele Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Sa 02.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Frage ist ein Klassiker der Extremwertberechnung.
Deswegen gab es auch schon diverse Antworten hier im Forum, z.B hier oder hier
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 02.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Marius, vielen Dank für den Tipp. Ich habe mal nachgeschaut und tatsächlich einige Lösungsvorschläge gefunden.
Doch die meisten gehen als Fragestellung davon aus, die maximale Fläche des Rechtecks zu bestimmen und setzen dazu das gefundene y
[mm] y = 200 - Pi* x [/mm]
in die Fläche des Rechtecks ([mm] 2*x*y [/mm]) ein:
[mm] A = 2*x (\underbrace{200 - Pi *x}_{=y}) [/mm]
Wenn ich nun die größtmögliche von der gesamten Laufbahn umschlossene Fläche ausrechnen muss, muss ich doch das gefundene y einsetzen in:
[mm] A = 2x*(200-Pi*x)+\underbrace{x^2*Pi}_{=Kreisflaeche} [/mm]
[mm] A = 400x - 2x^2*Pi + x^2*Pi [/mm]
[mm] A = 400x - x^2*Pi [/mm]
und dann die erste Ableitung davon gleich Null setzen und nach x auflösen, richtig? Das heißt dann:
[mm] A'(x) = 400 - 2x*Pi = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x = \bruch{200}{Pi} [/mm]
Mit dem gefunden x laesst sich dann das y bestimmen, bzw. den Radius, richtig?
Viele Grüße von Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles völlig richtig.
(Noch zu deinem ersten post: da hattest du die Fläche noch von a UND r abhängig, dann nach r differenziert.
Sowas geht nur, wenn a eine feste Zahl ist, hier hing aber a von r ab!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 02.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo leduart, hallo hase-hh, vielen Dank für euer posting. Ich habe jetzt mal weitergerechnet. In letzter Konsequenz wird dadurch
[mm] y = 200 - \pi *x = 200 - \pi*\bruch{200}{\pi} = 0 [/mm]
das heißt, es wird ein Kreis mit der Fläche
[mm] A = 400r-x^2\pi [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig. Fläche auch einfach [mm] x^2*\pi. [/mm]
(oft gibts die Aufgabe mit nur einem Halbkreis dran, das hat euer Lehrer wahrscheinlich verwechselt)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 02.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
also ich habe für r= [mm] \bruch{200}{\pi} [/mm]
das in die zielfunktion eingesetzt ergibt den maximalen flächeninhalt...
f(r)= - [mm] \pi r^2 [/mm] +400r
(ein minimum vonf ist bei r=0 zu finden)
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