Maximumabschätzung/Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Do 27.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei f Element von [mm] C^1[a,b] [/mm] und f(a)=0. Beweisen Sie die Abschätzung:
max mit [mm] a\le x\le [/mm] b [mm] |f(x)|\le \wurzel{(\integral_{a}^{b}(f(x)^2+f'(x)^2)dx)}. [/mm] |
Als Hinweis steht hier noch, ich soll [mm] d/dx*f(x)^2 [/mm] integrieren. Ich kenne f(x) aber doch gar nicht. Wie soll ich dies dann integrieren?
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Hi,
> Sei f Element von [mm]C^1[a,b][/mm] und f(a)=0. Beweisen Sie die
> Abschätzung:
>
> max mit [mm]a\le x\le[/mm] b [mm]|f(x)|\le \wurzel{(\integral_{a}^{b}(f(x)^2+f'(x)^2)dx)}.[/mm]
>
> Als Hinweis steht hier noch, ich soll [mm]d/dx*f(x)^2[/mm]
> integrieren. Ich kenne f(x) aber doch gar nicht. Wie soll
> ich dies dann integrieren?
na ja, man kann ja auch zuweilen mit groessen und funktionen rechnen, die man nicht explizit kennt...  beispiel: die variable x.
nimm dir also den tip und integriere [mm] $(f^2)'$ [/mm] ueber das intervall $[a,b]$. dieses integral kannst du nun einerseits mittels des hauptsatzes der diff.- und int.-rechnung ausrechnen und andererseits umformen, indem du [mm] $(f^2)'$ [/mm] ausrechnest.
wenn du soweit bist, schauen wir weiter.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Als Hauptsatz der Integralrechnung ist mir Integral a nach b f(x)*dx=F(b)-F(a) bekannt.
Wenn ich jetzt (f(x)´) als Variable auffasse, bekomme ich [mm] ((f´(x))^3)/3 [/mm] Also [mm] (f´(b))^3/3-(f´(a))^3/3.
[/mm]
Oder soll ich f(x) als Variable auffassen? dann hätte ich allerdings eine Funktionskette. Mit der Kettenregel bei der Differenzialrechnung kenne ich mich ja aus, aber bei der Integralrechnung leider noch nicht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich meine natürlich [mm] (f´(b))^3/3-(f´(a))^3/3. [/mm] Keine Ahnung warum die Striche nicht mitgekommen sind ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Fr 28.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Hauptsatz sagt hier dass [mm] \integral{(f^2(x))' dx}=f^2(x)
[/mm]
ausserdem solltest du verwenden [mm] (f-f')^2>0
[/mm]
Damit solltest du hinkommen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für den Tipp. Ich versuch mich mal dran ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich bin jetzt bis zu Sqrt(Integral a nach b [mm] f(x)^2*dx+|f(b)^2-f(a)^2|) [/mm] gekommen.
Deinen 2. Tipp verstehe ich leider nicht so ganz. Es ist doch gar kein f´mehr in meiner Ungleichung enthalten. Vielleicht bin ich im Moment nur etwas schwer von Begriff, aber ich komme einfach nicht weiter und bräuchte daher doch noch etwas Hilfe.
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Fr 28.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deiner Ungleichung steht doch im Integral [mm] f^2+f'^2
[/mm]
und ich hoffe dass du nicht denkst
[mm] \integral{f'^2 dx}=\integral{(f')^2 dx} [/mm] sei [mm] f^2!!
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Du hattest doch geschrieben Integral [mm] (f^2(x)´)*dx=f^2(x). [/mm] Ich hab dies doch bis jetzt nur für den 2. Summanden eingesetzt.
Hab ich da bereits schon einen Fehler gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Fr 28.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Der Strich bei Integral [mm] (f´(x))^2*dx [/mm] ist wieder nicht gekommen -,-.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Sa 29.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \integral{(f^2)' dx}=\integral{2*f*f'}=f^2
[/mm]
[mm] \integral{(f')^2 dx}=\integral{2f'*f'' dx}= [/mm] ich weiss nicht
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 29.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich habe jetzt schon den ganzen Vor- und Nachmittag mit der Aufgabe, deinen Tipps, dem Forster, Wikipedia und so weiter rumgeschlagen, aber ich blick immernoch nicht so ganz durch.
Wenn in meiner Aufgabe gar kein [mm] (f(x)^2)´ [/mm] entahlten ist, was nützt mir dann das Integral, welches du mir als ersten Hauptsatz aufgeschrieben hast? Ich werde irgendwie immer verwirrter, um so länger ich mich damit beschäftige.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 30.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich habe jetzt schon den ganzen Vor- und Nachmittag mit der
> Aufgabe, deinen Tipps, dem Forster, Wikipedia und so weiter
> rumgeschlagen, aber ich blick immernoch nicht so ganz
> durch.
Schau Dir lieber die Ungleichung an. =)
Quadrier mal auf beiden Seiten, dann hast Du links ein [mm] $\max f(x)^2$ [/mm] und jetzt wissen wir ja, daß das gleich [mm] $\int_a^y (f(x)^2)'\ [/mm] dx$ für ein geeignetes [mm] $y\in[a,b]$ [/mm] ist (da f(a)=0). Damit die Ungleichung für das Maximum auf der linken Seite gilt, muß also für alle [mm] $y\in[a,b]$ [/mm] gelten:
[mm] $$\int_a^y (f(x)^2)'\ [/mm] dx [mm] \leq \int_a^b f(x)^2 [/mm] + [mm] f'(x)^2\ [/mm] dx$$
Und die Ungleichung mußt Du jetzt beweisen.
Und Deine Striche verschwinden immer, weil Du anstatt des Apostrophen (' - links neben der Return-Taste) den Akut (´ - accent aigu, links neben Backspace) hernimmst. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 30.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich bin Jetzt bis Integral a nach b [mm] (f(x)+f'(x))^2*dx>=Integral [/mm] a nach y [mm] (f(x)^2)'*dx+Integral [/mm] a nach b [mm] (f(x)^2)'*dx [/mm] gekommen.
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> Ich bin Jetzt bis Integral a nach b
> [mm](f(x)+f'(x))^2*dx>=Integral[/mm] a nach y [mm](f(x)^2)'*dx+Integral[/mm]
> a nach b [mm](f(x)^2)'*dx[/mm] gekommen.
Hallo,
Du hast nunmehr den 39.Beitrag im Forum geschrieben, und ich finde, es wäre an der Zeit, daß Du Deinen Posts eine Form gibst, in der man sie auf einen Blick lesen kann.
Stichwort: Formeleditor.
Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 So 30.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für den Link. Ich gelobe Besserung. Also jetzt nochmal in richtiger Form:
[mm] \Integral{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2\, [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 30.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für den Link. Ich gelobe Besserung. Also jetzt nochmal in richtiger Form:
[mm] \Integral_{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2\, [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 30.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für den Link. Ich gelobe Besserung. Also jetzt nochmal in richtiger Form:
[mm] \integral_{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2\, [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du auf die (falsche Gleichung kommst versteh ich nicht! Die hat auch wirklich nichts mit meinen Hinwesen zu tun.
Lies die bitte nochmal alle -langsam- durch!!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 So 30.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sagst nie, was du mit den Tips gemacht hast, sondern :ich bin gekommen....
ich hab den ganzen Tag....
Berichte, was du probiert hast nich dass du probiert hast.
Nochmal:
[mm] (f-f')^2>0
[/mm]
daraus [mm] f^2+f'^2-2ff'>0 [/mm] also [mm] f^2+f'^2>2ff'
[/mm]
Kannst du jetzt zum Integral übergehen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 30.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wie weit ich gekommen bin, siehtst du in meiner Nachricht von 17:48 (verbessert 22:52) und dort sind deine Umformungen doch auch schon mit eingeflossen. Nur weiß ich leider noch nicht, wie ich daraus auf das Maximum schließen kann.
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 30.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Wie weit ich gekommen bin, siehtst du in meiner Nachricht
Du hast irgendwie bei meiner Ungleichung ein [mm] $\int_a^b f'(x)^2\ [/mm] dx$ dazu geschrieben und gesagt, daß das dann ne Gleichung ist. Vielleicht steh ich grade auf der Leitung, aber ich sehe nicht, warum diese Gleichheit dann gelten sollte.
> von 17:48 (verbessert 22:52) und dort sind deine
> Umformungen doch auch schon mit eingeflossen.
Nein sind sie nicht. Lies Dir doch leduarts letzte Antwort nochmal genau durch. Dort schreibt er die richtige Lösung ja schon fast hin. Es fehlt nur noch eine Abschätzung.
=)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \wurzel{\integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\, dx } \ge [/mm] f(x) max
[mm] \integral_{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2-2*f(x)*f'(x)\, [/mm] dx [mm] \ge f(x)^2 [/mm] max
[mm] \integral_{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2\, [/mm] dx - [mm] \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
[mm] \integral_{a}^{b} (f(x)+f'(x))^2\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{y} (f(x)')^2\, [/mm] dx + [mm] \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
Das waren bis jetzt meine Gendankengänge. ^^
Wenn ich mich mal an eurer Idee versuche, komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm] \integral_{a}^{b} (f(x)-f'(x))^2\, [/mm] dx [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\, [/mm] dx - [mm] \integral_{a}^{b} 2*f(x)*f'(x)\, [/mm] dx [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
Mein Problem:
f(y) [mm] \ge [/mm] f(b)
[mm] f(y)^2 \ge f(b)^2
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{y} (f(y)^2)'\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx ,da ja f(a)=0
Also:
[mm] \integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx [mm] \le \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx
Da die beiden Relationszeichen verschieden sind, lässt die Ungleichung keine Aussage über das Maximum zu. Wo liegt nun mein Denkfehler?
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn ich mich mal an eurer Idee versuche, komme ich zu
> folgendem Ergebnis:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} (f(x)-f'(x))^2\,[/mm] dx [mm]\ge[/mm] 0
hier besser Beträge:
[mm]\integral_{a}^{b} (|f(x)|-|f'(x)|)^2\,[/mm] dx [mm]\ge[/mm] 0
>
> [mm]\integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\,[/mm] dx - [mm]\integral_{a}^{b} 2*f(x)*f'(x)\,[/mm]
> dx [mm]\ge[/mm] 0
dann hier
[mm]\integral_{a}^{b} f(x)^2+f'(x)^2\,[/mm] dx [mm]\ge \integral_{a}^{b} ({2|f'|*|f| dx}[/mm]
Intervall verkleinern:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] ({2|f'|*|f| [mm] dx}>\integral_{a}^{x} [/mm] ({2|f'|*|f| [mm] dx}\ge\integral_{a}^{x} [/mm] ({2f'*f dx} für beliebige x aus [a,b]
kommst du jetzt ans Ende?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:00 Mo 31.03.2008 | | Autor: | DerGraf |
Deine Antwort klingt logisch, womit ich mal vermute, dass ich meinen Denkfehler bei dem Übergang von [mm] f(y)^2 \ge f(b)^2 [/mm] zu
[mm] \integral_{a}^{y} (f(x)^2)'\, [/mm] dx [mm] \ge \integral_{a}^{b} (f(x)^2)'\, [/mm] dx habe.^^
Damit ergibt sich dann wohl doch kein Widerspruch mit den Relationszeichen. Ich danke für deine Geduld.
Gruß DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 02.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 So 30.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Habe etwas überlesen. Sorry
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