Mehrdimensionale Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Info:
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo zusammen,
Geg. sei die Fkt:
f: [mm] R^2-> [/mm] R, (x,y)->
( [mm] x^2*y^2 [/mm] + [mm] y^8 [/mm] ( Zähler) / [mm] x^2+y^4 [/mm] (Nenner) ,
falls (x.y)ungleich (0,0)
und 0, falls (x,y) = (0,0)
In welchen Punkten ist f stetig?
Die Wege,die ich versucht habe ( Nullfolgen einsetzen-> dann kommt immer im Zähler und Nenner eine Null raus..
Den Sandwich Satz habe ich auch versucht-> leider bin ich mittlerweile verzweifelt und hoffe auf einen Ratschlag oder eventuell eine Lösung
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!
Mfg
Ps: Meine Maus- Taste funktioniert nicht, kann gerade kein copy paste machen, daher die kompliziete Schreibweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Info:
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Hallo zusammen,
>
>
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> Geg. sei die Fkt:
>
> f: [mm]R^2->[/mm] R, (x,y)->
> ( [mm]x^2*y^2[/mm] + [mm]y^8[/mm] ( Zähler) / [mm]x^2+y^4[/mm] (Nenner) ,
>
> falls (x.y)ungleich (0,0)
>
> und 0, falls (x,y) = (0,0)
>
> In welchen Punkten ist f stetig?
>
> Die Wege,die ich versucht habe ( Nullfolgen einsetzen->
> dann kommt immer im Zähler und Nenner eine Null raus..
>
> Den Sandwich Satz habe ich auch versucht-> leider bin ich
> mittlerweile verzweifelt und hoffe auf einen Ratschlag oder
> eventuell eine Lösung
Es ist für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und |y| [mm] \le [/mm] 1:
0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^2
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!
>
> Mfg
>
> Ps: Meine Maus- Taste funktioniert nicht, kann gerade kein
> copy paste machen, daher die kompliziete Schreibweise
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Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit und Dein Bemühen.
Leider hilft es mir nicht viel. Ich habe direkt an den Sandwich Satz gedacht-> ich weiß nicht, ob ich mich richtig ausdrücke..das y im Betrag erinnert mich an die Aufspaltung des Zählers, sodass man eine beschränkte Folge und eine Nullfolge hat und es insgesamt gegen Null komvergiert..
Bezüglich des Einschnürungssatzes/Sandwich Satz wurde uns ein Bsp vorgerechnet, wo es aber meinerseits einfacher ist, darauf zu kommen. Also das Ganze so aufzuspalten,dass am Ende eine beschränkte Folge mal eine Nullfolge bleibt-> also bspw. [mm] x^2/x^2+y^2 [/mm] in Betrag mal [mm] y^2/x^2+y^2 [/mm] in Betrag (beide jeweils beschränkt) mal y in Betrag -> wobei für f(x,y)-> (0,0)-> daher das y in Betrag gegen Null geht-> un dr Satz in Anwendung kommt, wo beschränkt mal Nullfolge= Null ist
Ich hatte auch die Idee, die Funktion nach unten mit einer Funktion abzuschätzen( Sandwich Satz) , wo es im Nenner [mm] x^2+y^2 [/mm] enthält, wobei aber es doch nicht kleiner als [mm] x^2+y^4 [/mm] ist-> denn ich wollte dann versuchen es mit Hilfe der Polaroordinaten auf Stetigkeit zu untersuchen und es dann auf die Ausgangsfunktion zu beziehen, da das in Vergleich gesetzte zb unstetig /stetig ist, ist die gesuchte Funtkion auch stetig/unstetig.
Besteht die Möglichkeit Deine Denkweise näher zu erläutern?
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit und Dein Bemühen.
>
> Leider hilft es mir nicht viel. Ich habe direkt an den
> Sandwich Satz gedacht-> ich weiß nicht, ob ich mich
> richtig ausdrücke..das y im Betrag erinnert mich an die
> Aufspaltung des Zählers, sodass man eine beschränkte
> Folge und eine Nullfolge hat und es insgesamt gegen Null
> komvergiert..
Aus
0 $ [mm] \le [/mm] $ f(x,y) $ [mm] \le y^2 [/mm] $
folgt doch
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)
[/mm]
FRED
>
> Besteht die Möglichkeit Deine Denkweise näher zu
> erläutern?
>
> Mfg
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Habe ich es richtig verstanden?
Sie haben die Funktion nach oben mit [mm] y^2 [/mm] und nach unten mit 0 abgeschätzt?
Es kann totaler Irrsinn sein-> jedoch falls es eine Abschätzung ist, wie oben gemeint-kann man denn das so schreiben, fehlt da nicht etwas?
Ich würde es dann eher so schreiben wollen, ob es richtig ist,das weiß ich leider nicht.
0 kleiner/gleich f(x,y)- f(0,0)(in Betrag) kleiner/gleich [mm] x^2+ y^8^/ x^2^+y^4 [/mm] (in Betrag) mal [mm] y^2( [/mm] in Betrag) = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist so gemeint, wie ich es nun zum 3. Mal schreibe:
$0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^2 [/mm] $
Zeige, dass das stimmt
FRED
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Vielen Dank für Ihr Bemühen. In einer Woche(HA-Korrektur) wird es sich herausstellen, ob es die richtige Antwort und Voransgehensweise war bzw. ob ich es richtig verstanden habe. Ich werde es dann hier öffentlich mitteilen. Eventuell kann man damit auch anderen behiflich sein.
Mfg
Ich korrigiere, damit ich hier niemandem zu nahe trete-da ich Neuling bin und die Seite zum ersten Mal betreten bwz benutzt habe , habe ich den Antwortgeber fred erst mit meiner Frage kennengelernt.
Daher ist die Aussage nun nur auf mein Verständnis bezogen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für Ihr Bemühen. In einer Woche(HA-Korrektur)
> wird es sich herausstellen, ob es die richtige Antwort und
> Voransgehensweise war bzw. ob ich es richtig verstanden
> habe. Ich werde es dann hier öffentlich mitteilen.
> Eventuell kann man damit auch anderen behiflich sein.
Freds Herangehensweie und Antwort war richtig. Ob Du sie richtig
aufgeschrieben hast, das ist eine andere Frage. So, wie Du das bei
der letzten Frage angedeutet hast, sah das eher nicht so aus.
P.S. Fred irrt sich übrigens auch wirklich seltenst (ich glaube, mich nur
an ein Bsp. zu erinnern - und das kann ich noch nicht mal rekonstruieren -
wo er falsch lag; und das war nur minimal daneben...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für Ihr Bemühen. In einer Woche(HA-Korrektur)
> wird es sich herausstellen, ob es die richtige Antwort und
> Voransgehensweise war bzw.
Sag mal, gehts eigentlich noch ? Nirgendwo sehe ich , dass Du Dir mal die Mühe gemacht hast, die Ungleichungen 0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^2 [/mm] für |y| [mm] \le [/mm] 1 zu zeigen .
FRED
> ob ich es richtig verstanden
> habe. Ich werde es dann hier öffentlich mitteilen.
> Eventuell kann man damit auch anderen behiflich sein.
>
> Mfg
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Ich stand in dem Moment unter Zeitdruck. Daher teile ich es jetzt mit. Ich hoffe es ist nicht ganz so falsch.
für (x,y)=(0,0) mit y (in Betrag) kleiner/gleich 1
[Info: als Kriterium anwendbar, da (x,y)-> (0,0) und y (in Betrag) somit irgendwann zwangsläufig kleiner/gleich 1 ]
0 kleiner/gleich f(x,y) kleiner/gleich [mm] y^2 [/mm]
äquivalent zu
0 kleiner/gleich [mm] x^2*y^2+ y^8 [/mm] / [mm] x^2+ y^4 [/mm] kleiner/gleich [mm] y^2
[/mm]
Somit gilt auch
lim 0 für(x,y)->(0,0) = 0 kleiner/gleich lim [mm] x^2*y^2+y^8 [/mm] / [mm] x^2+y^4 [/mm] kleiner/gleich lim [mm] y^2 [/mm] = 0 = f(0,0)
daraus folgt:
lim (x,y)-> (0,0) für [mm] x^2*y^2+y^8^/ x^2+y^4 [/mm] =0= f(0,0)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich stand in dem Moment unter Zeitdruck. Daher teile ich es
> jetzt mit. Ich hoffe es ist nicht ganz so falsch.
>
> für (x,y)=(0,0) mit y (in Betrag) kleiner/gleich 1
>
> [Info: als Kriterium anwendbar, da (x,y)-> (0,0) und y (in
> Betrag) somit irgendwann zwangsläufig kleiner/gleich 1 ]
>
> 0 kleiner/gleich f(x,y) kleiner/gleich [mm]y^2[/mm]
>
> äquivalent zu
>
> 0 kleiner/gleich [mm]x^2*y^2+ y^8[/mm] / [mm]x^2+ y^4[/mm] kleiner/gleich
> [mm]y^2[/mm]
Hast Du das gezeigt ????
FRED
>
> Somit gilt auch
>
> lim 0 für(x,y)->(0,0) = 0 kleiner/gleich lim [mm]x^2*y^2+y^8[/mm] /
> [mm]x^2+y^4[/mm] kleiner/gleich lim [mm]y^2[/mm] = 0 = f(0,0)
>
> daraus folgt:
>
> lim (x,y)-> (0,0) für [mm]x^2*y^2+y^8^/ x^2+y^4[/mm] =0= f(0,0)
>
>
>
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Ob ich es mathematisch korrekt gezeigt habe, das kann ich nicht garantieren. Ich habe es versucht und hoffentlich auch die Unterstützung Deinerseits nicht ganz falsch verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ob ich es mathematisch korrekt gezeigt habe, das kann ich
> nicht garantieren. Ich habe es versucht
Mein Gott, dann zeige doch mal Deinen Beweis !!!
FRED
> und hoffentlich
> auch die Unterstützung Deinerseits nicht ganz falsch
> verstanden.
>
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Ich verstehe Deine Nerven, da es evtl nicht einfach ist mir und meinem Problem entgegenzukommen,weil ich selbst nicht richtig "durchblicke"; jedoch kann man einen freundlicheren Umgangston nehmen. Dennoch respektiere ich Deine Unterstützung,jedoch steht Dir die Hilfe frei, niemand ist gezwungen mir zu helfen. Ich bin kein Mathe Student , da steckt viel Fleiß hinter dieser Aufgabe, bevor ich mich hier registriert habe. Nicht jeder muss und kann alles auf Anhieb verstehen. Mein Respekt gilt immer noch , alleine schon aus dem Grund,dass man hier Wissen teilt und anderen/fremden Menschen Mathe/Wissen näher bringt. Daher bewahre ich aus humanen Gründen meinen freundlichen Ton.
In Zukunft können Sie meine Beiträge ignorieren, um Ihre Nerven nicht reizen zu lassen. Es war keineswegs meine Absicht,sondern ich habe wirklich nicht durchgeblickt, eventuell weil ich bei der Aufgabe zunächst ganz anders vorangegangen bin,und zwar so,wie es inder Übung uns vorgerechnet wurde. Die Abschätzung beherrsche ich anscheinend auch nicht so ganz,daher klappt das alles auf Knopfdruck und unter Zeitdruck nicht.
Viel Erfolg und Alles Gute weiterhin!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe Deine Nerven, da es evtl nicht einfach ist mir
> und meinem Problem entgegenzukommen,weil ich selbst nicht
> richtig "durchblicke"; jedoch kann man einen freundlicheren
> Umgangston nehmen. Dennoch respektiere ich Deine
> Unterstützung,jedoch steht Dir die Hilfe frei, niemand ist
> gezwungen mir zu helfen. Ich bin kein Mathe Student , da
> steckt viel Fleiß hinter dieser Aufgabe, bevor ich mich
> hier registriert habe. Nicht jeder muss und kann alles auf
> Anhieb verstehen. Mein Respekt gilt immer noch , alleine
> schon aus dem Grund,dass man hier Wissen teilt und
> anderen/fremden Menschen Mathe/Wissen näher bringt. Daher
> bewahre ich aus humanen Gründen meinen freundlichen Ton.
>
> In Zukunft können Sie meine Beiträge ignorieren, um Ihre
> Nerven nicht reizen zu lassen. Es war keineswegs meine
> Absicht,sondern ich habe wirklich nicht durchgeblickt,
> eventuell weil ich bei der Aufgabe zunächst ganz anders
> vorangegangen bin,und zwar so,wie es inder Übung uns
> vorgerechnet wurde. Die Abschätzung beherrsche ich
> anscheinend auch nicht so ganz,daher klappt das alles auf
> Knopfdruck und unter Zeitdruck nicht.
>
> Viel Erfolg und Alles Gute weiterhin!
Was das soll, ist mir schleierhaft. Oben schreibst Du:
"Ob ich es mathematisch korrekt gezeigt habe, das kann ich nicht garantieren."
Dann hab ich Dich aufgefordert, Deinen Beweis hier zu präsentieren.
Wenn ich Deinen Beweis sehe, habe ich 2 Möglichkeiten:
Ich garantiere Dir, dass er richtig ist, wenn er richtig ist
oder
Ich garantiere Dir, dass er nicht richtig ist, wenn er nicht richtig ist.
Ich habe fertig.
FRED
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Ich habe nur das,was ich aufgeschrieben habe. D.h. anscheinend habe ich nur aufgeschrieben,aber nicht vollständig/garnicht bewiesen,wie es notwendig war.
In einer Woche werde ich einen Feedback erhalten, sobald ich diesbezüglich klüger werde, werde ich es hier öffentlich teilen.Damit es eventuell auch anderen hilft.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Habe ich es richtig verstanden?
>
> Sie haben die Funktion nach oben mit [mm]y^2[/mm] und nach unten mit
> 0 abgeschätzt?
>
>
>
> Es kann totaler Irrsinn sein-> jedoch falls es eine
> Abschätzung ist, wie oben gemeint-kann man denn das so
> schreiben, fehlt da nicht etwas?
Du solltest noch dazuschreiben, dass Du o.E. $|y| [mm] \le [/mm] 1$ betrachtest. Fred hatte
das aber in seiner ersten Antwort stehen.
> Ich würde es dann eher so schreiben wollen, ob es richtig
> ist,das weiß ich leider nicht.
>
> 0 kleiner/gleich f(x,y)- f(0,0)(in Betrag) kleiner/gleich
> [mm]x^2+ y^8^/ x^2^+y^4[/mm] (in Betrag) mal [mm]y^2([/mm] in Betrag) = 0
Benutze doch den
Formeleditor,
Latex musst Du eh mal lernen.
Oben hoffe ich, dass Du irgendwo den Limes nur nicht erwähnt hast, oder
dass noch irgendwo $(x,y) [mm] \to [/mm] 0$ dabeisteht und ein [mm] $=\,$ [/mm] als [mm] $\to$ [/mm] da steht.
Ansonsten darfst Du das so nicht schreiben - ebensowenig, wie Du $1/n=0$ schreiben
kannst (es sei denn, Du willst eine falsche Aussage hinschreiben), wenn
Du $1/n [mm] \to [/mm] 0$ meinst (bessere Varianten:
$1/n [mm] \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$
oder
$1/n [mm] \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
oder
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\red{\,=\,}0\,.$)
[/mm]
Wenn Du das Ganze etwas ausführlicher aufschreiben willst, dann kannst
Du Dich zudem noch
hieran (klick!)
orientieren.
Beachte auch
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17.
P.S. Ich glaube, Du darfst hier im MR jeden duzen. Ist gängig. 
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
dankesehr für die Informationen.
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