Nichtwandernde Menge finden < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:32 Sa 09.05.2015 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, sei [mm] $X=\left\{0,1,2\right\}^{\mathbb{Z}}$ [/mm] und [mm] $T\colon X\to [/mm] X$ wie folgt:
(i) aus einer 1 wird eine 2
(ii) aus einer 2 wird eine 0
(iii) aus einer 0 wird eine 1, wenn mindestens einer ihrer beiden Nachbarn eine 1 ist, sonst bleibt sie eine 0
Aufgabe: Bestimme die nichtwandernde Menge von $T$.
Definition:
A point [mm] $x\in [/mm] X$ is nonwandering with respect to the map $T$ if for any neighborhood [mm] $U\ni [/mm] x$ there is a $N>0$ such that [mm] $T^N(U)\cap U\neq\emptyset$ [/mm] The set of all nonwandering points of $T$ is called the nonwandering set and denoted by [mm] $\Omega(T)$. [/mm] |
Leider weiß ich gar nicht, wie ich [mm] $\Omega(T)$ [/mm] bestimmen kann. Hoffentlich kann und mag mir jemand weiter helfen!
Schöne Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 09.05.2015 | | Autor: | hippias |
Ich finde die Menge interessant. Ich haette eine Frage: Wie ist die Topologie/Metrik auf $X$ definiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 09.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Hallo,
auf [mm] $\left\{0,1,2\right\}$ [/mm] betrachte man die diskrete Topologie und auf $X$ die zugehörige Produkttopologie. Als Subbasis für diese Produkttopologie eignen sich z.B. die Elementarzylinder
[mm] $\left\{x\in X: x(i)=a\right\}, i\in\mathbb{Z}, a\in\left\{0,1,2\right\}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Sa 09.05.2015 | | Autor: | hippias |
Eine prompte Antwort! Mal sehen, ob mir etwas einfaellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Sa 09.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Eine Beobachtung, bei der ich nicht weiß, ob sie relevant ist:
L beinhalte die bi-unendlichen Folgen folgender Bauart:
- Jede 1 hat rechts von sich eine 2,
- jede 2 hat rechts von sich eine 0,
- jede 0 hat rechts von sich eine 0 oder eine 1.
Dann agiert T auf L als Links-Shift.
R beinhalte die bi-unendlichen Folgen folgender Form:
- Jede 1 hat links von sich eine 2,
- jede 2 hat links von sich eine 0,
- jede 0 hat links von sich eine 0 oder eine 1.
Auf R agiert T als Rechts-Shift.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx!
Stammt ![[]](/images/popup.gif) dieser Beitrag hier auch von dir?
Ist die vorliegende Aufgabe gar keine klassische Übungsaufgabe, sondern ein selbst gestelltes Problem, das möglicherweise gar keine "schöne" Lösung besitzt?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 So 10.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Daran habe ich mich angelehnt, ist aber nicht von mir.
Ja, ist wohl keine schöne Übungsaufgabe, wo man unbedingt eine schöne Lösung finden kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Leider bin ich weit davon entfernt, dieses Problem lösen zu können.
Daher nur ein paar lose Überlegungen:
Man kann sich überlegen, dass das Bild von T genau die Menge der [mm] $x\in [/mm] X$ ist, für die "jede 1 in x mindestens eine 2 als Nachbar hat".
(Ich verzichte zunächst auf eine formale Präzisierung und hoffe, dass meine Formulierung trotzdem verständlich ist. Ansonsten kannst du gerne nachfragen.)
Das Bild von T ist abgeschlossen in $X$.
Damit kann man sich überlegen: Für [mm] $x\in X\setminus [/mm] im(T)$ gilt [mm] $x\notin\Omega(T)$.
[/mm]
Mit anderen Worten: [mm] $\Omega(T)\subseteq [/mm] im(T)$.
Noch anders formuliert: Damit ein [mm] $x\in [/mm] X$ nichtwandernd ist, muss notwendigerweise jede 1 in x mindestens eine 2 als Nachbar haben.
Eine weiteres Beispiel für eine notwendige Bedingung für einen nichtwandernden Punkt ist, dass er keine drei aufeinanderfolgenden 2en enthält.
Ein Beispiel für ein [mm] $x\in\Omega(T)$ [/mm] ist gegeben durch $x(i):=0$ für alle [mm] $i\in\IZ$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 10.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Gilt nicht auch Folgendes:
[mm] $Y\subset\Omega(T)$, [/mm] für
[mm] $Y:=\bigcap_{n=0}^{\infty}T^n(X)$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Gilt nicht auch Folgendes:
>
> [mm]Y\subset\Omega(T)[/mm], für
>
> [mm]Y:=\bigcap_{n=0}^{\infty}T^n(X)[/mm]?
Ich sehe das gerade nicht. Warum gilt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 10.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm] $\Omega(T)$ [/mm] benutzt.
[mm] $\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.$
[/mm]
[mm] $Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)$ [/mm] ist die Menge aller [mm] $x\in [/mm] X$, die man unendlich oft zurückentwickeln kann.
Wenn jetzt [mm] $x\in [/mm] Y$ ist und $U$ eine Umgebung von $x$ ist, dann ist [mm] $U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset$ [/mm] für ein $n>0$, oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm]\Omega(T)[/mm]
> benutzt.
>
> [mm]\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.[/mm]
Ja.
> [mm]Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)[/mm] ist die Menge aller [mm]x\in X[/mm], die
> man unendlich oft zurückentwickeln kann.
Zumindest kann man sie "beliebig lang endlich oft zurückentwickeln".
> Wenn jetzt [mm]x\in Y[/mm] ist und [mm]U[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist, dann
> ist [mm]U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset[/mm] für ein [mm]n>0[/mm], oder ?
Für welches $n>0$ soll dies gelten?
Wie willst du ein Element [mm] $U\cap T^{-n}(U)$ [/mm] konstruieren (oder anders dessen Existenz beweisen)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 10.05.2015 | | Autor: | mikexx |
> > Also ich habe eine äquivalente Definition von [mm]\Omega(T)[/mm]
> > benutzt.
> >
> > [mm]\Omega(T):=\left\{x\in X: \text{for every neighbourhood U of x }\exists n\geq 1: U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset\right\}.[/mm]
>
> Ja.
>
>
> > [mm]Y=\bigcap_{n\geq 0}T^n(X)[/mm] ist die Menge aller [mm]x\in X[/mm], die
> > man unendlich oft zurückentwickeln kann.
> Zumindest kann man sie "beliebig lang endlich oft
> zurückentwickeln".
>
>
> > Wenn jetzt [mm]x\in Y[/mm] ist und [mm]U[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist, dann
> > ist [mm]U\cap T^{-n}(U)\neq\emptyset[/mm] für ein [mm]n>0[/mm], oder ?
> Für welches [mm]n>0[/mm] soll dies gelten?
> Wie willst du ein Element [mm]U\cap T^{-n}(U)[/mm] konstruieren
> (oder anders dessen Existenz beweisen)?
Hm, wenn x in U ist und x in Y, gibts doch eigentlich für jedes $n>0$ ein y, sodass [mm] $T^ny=x\in [/mm] U$. Dann ist doch [mm] $y\in T^{-n}(U)$. [/mm] Achso und ich weiß nicht, ob auch [mm] $y\in [/mm] U$.
Och, menno. War wohl nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Och, menno. War wohl nichts.
Tröste dich: Meine Ansätze haben ja auch noch keinen wirklichen Erfolg gebracht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 So 10.05.2015 | | Autor: | mikexx |
Siehst du denn, ob die Mengen L und R, die ich unter "Beobachtung" hingeschrieben habe, in [mm] $\Omega(T)$ [/mm] sind?
Edit: Ich denke, sie sind es.
Zum Beispiel für L:
Sei x in L. Und sei U eine Umgebung von $x$, dann ist x in einer Zylindermenge Z, z.B. [120], die Menge aller Sequenzen, die an den Stellen 0 bis 2 die Abgolge 120 stehen haben.
Wenn ich jetzt z.B: y=.... 120012... nehme (wobei die erste 1 links an Position 0 stehen soll), dann gilt [mm] $y\in [/mm] Z$ und [mm] $T^4(y)\in [/mm] Z$. Also doch [mm] $T^4(y)\in T^4(U)$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 So 10.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Siehst du denn, ob die Mengen L und R, die ich unter
> "Beobachtung" hingeschrieben habe, in [mm]\Omega(T)[/mm] sind?
>
> Edit: Ich denke, sie sind es.
Das denke ich auch.
Allerdings werde ich zumindest heute Abend keinen exakten Beweis mehr ausarbeiten.
Solange ich das nicht getan habe, steht meine Aussage unter "Irrtumsvorbehalt".
> Zum Beispiel für L:
>
> Sei x in L. Und sei U eine Umgebung von [mm]x[/mm], dann ist x in
> einer Zylindermenge Z, z.B. [120], die Menge aller
> Sequenzen, die an den Stellen 0 bis 2 die Abgolge 120
> stehen haben.
Du meinst sicherlich, dass wir eine solche Zylindermenge Z mit der zusätzlichen Eigenschaft [mm] $Z\subseteq [/mm] U$ wählen.
> Wenn ich jetzt z.B: y=.... 120012... nehme (wobei die erste
> 1 links an Position 0 stehen soll),
und die Pünktchen für 0en stehen
> dann gilt [mm]y\in Z[/mm] und
> [mm]T^4(y)\in Z[/mm]. Also doch [mm]T^4(y)\in T^4(U)[/mm].
Am Ende soll es wohl [mm] $y\in [/mm] U$ und [mm] $T^4(y)\in [/mm] U$ (also [mm] $y\in U\cap T^{-4}(U))$ [/mm] heißen.
Ja, für dieses Beispiel passt es.
Ein exakter Beweis müsste natürlich mit beliebig vorgegebenen [mm] $x\in [/mm] L$ und $U$ arbeiten.
Insbesondere wäre dafür wohl zu präzisieren und zu überlegen, dass es zu jedem [mm] $x\in [/mm] L$ stets möglich ist, jedes "endliche Mittelstück" "nach rechts zu kopieren", ohne $L$ zu verlassen (was mir sehr plausibel erscheint, ich jedoch noch nicht ganz exakt verifiziert habe).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 11.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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