Noch eine Ungleichung mit mini < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Wenn [mm] yo\neq [/mm] 0 und ist [mm] \left | y-yo \right [/mm] |< [mm] min\left ( \frac{\left | yo \right |}{2} ,\frac{\varepsilon \left | yo \right |^{2}}{2}\right [/mm] ) , dann ist [mm] y\neq [/mm] 0 und es gilt:
[mm] \left | \frac{1}{y}-\frac{1}{yo} \right [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm] |
Nachdem ich letztes mal so eine tolle Idee von FRED (noch mal Danke) bekommen habe bin ich leider bei einer anderen Aufgabe ins stocken gekommen. Ich soll die obere Ungleichung beweisen.
Ich habe jetzt auch schon länger an der Aufgabe gesessen. Aber ich bekommen den Ausdruck [mm] \left | yo \right |^{2} [/mm] auf der rechten Seite der Ungleichung einfach nicht weg.
Wäre schön, wenn ich beu euch noch einen Tip bekommen könnte.
Danke, Mich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn [mm]yo\neq[/mm] 0 und ist [mm]\left | y-yo \right[/mm] |< [mm]min\left ( \frac{\left | yo \right |}{2} ,\frac{\varepsilon \left | yo \right |^{2}}{2}\right[/mm]
> ) , dann ist [mm]y\neq[/mm] 0 und es gilt:
>
> [mm]\left | \frac{1}{y}-\frac{1}{yo} \right[/mm] |< [mm]\varepsilon[/mm]
> Nachdem ich letztes mal so eine tolle Idee von FRED (noch
> mal Danke) bekommen habe bin ich leider bei einer anderen
> Aufgabe ins stocken gekommen. Ich soll die obere
> Ungleichung beweisen.
>
> Ich habe jetzt auch schon länger an der Aufgabe gesessen.
> Aber ich bekommen den Ausdruck [mm]\left | yo \right |^{2}[/mm] auf
> der rechten Seite der Ungleichung einfach nicht weg.
>
> Wäre schön, wenn ich beu euch noch einen Tip bekommen
> könnte.
offenbar ist oben [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Die Aufgabe ist eigentlich weniger
schwer, als sie zunächst den Anschein hat:
Es gilt
[mm] $$|\;1/y-1/y_0\;|=\frac{1}{|y*y_0|}*|y-y_0|\,.$$
[/mm]
Nun gilt ja nach Voraussetzung insbesondere [mm] $|y-y_0| [/mm] < [mm] |y_0|/2\,,$ [/mm]
beweise, dass daraus folgt
$$|y| > [mm] |y_0|/2\,.$$
[/mm]
(Tipp: Schreibe [mm] $y_0=(y_0-y)+y\,$ [/mm] und wende die Dreiecksungleichung
an.)
Und damit ich Dir nicht alles vorrechne: Versuch' nun mal, die Behauptung
zu folgern! (Beachte, dass Du nun [mm] $1/|y*y_0|$ [/mm] abschätzen kannst!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
erst ein mal vielen Dank für deine Antwort. Ich denke, das bekomme ich jetzt hin. Muss mir aber noch mal genau deinen Tip ansehen, was ich aber morgen in aller Ruhe machen werde.
Ich wollte mich aber trotzdem bei dir bedanken.
Grüße,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Marcel,
> erst ein mal vielen Dank für deine Antwort. Ich denke,
> das bekomme ich jetzt hin. Muss mir aber noch mal genau
> deinen Tip ansehen, was ich aber morgen in aller Ruhe
> machen werde.
>
> Ich wollte mich aber trotzdem bei dir bedanken.
kein Ding, gern geschehen. Bei Unklarheiten frag' einfach nochmal nach!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 04.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Hallo,
auch wenn das jetzt schon fast peinlich ist, aber ich kann folgendes nicht nachvollziehen:
Aus [mm] \left | y-yo \right [/mm] |< [mm] \frac{\left | yo \right |}{2} [/mm] folgt [mm] \frac{\left | yo \right |}{2}< \left | y \right [/mm] | |
Ich habe natürlich auch mit der Dreiecksungleichung versucht die Aussage zu zeigen. Leider klappte das nicht. Ich bekomme immer auf der kleiner Seite -yo. Da muss ich aber nun mal ein positives yo bekommen.
Tja, bis vor zwei Stunden sah der Rest noch recht leicht aus ;-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> auch wenn das jetzt schon fast peinlich ist, aber ich kann
> folgendes nicht nachvollziehen:
>
> Aus [mm]\left | y-yo \right[/mm] |< [mm]\frac{\left | yo \right |}{2}[/mm]
> folgt [mm]\frac{\left | yo \right |}{2}< \left | y \right[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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es folgt aus der Dreiecksungleichung
$$(\*)\;\;\;|y_0|=|y_0-y+y| \le |y_0-y|+|y|=|y-y_0|+|y|\,.$$
Nach der Voraussetzung
$$ \left | y-y_0 \right $ |< \min\left ( \frac{\left | y_0 \right |}{2} ,\frac{\varepsilon \left | y_0 \right |^{2}}{2}\right)$$
gilt insbesondere $|y-y_0| < |y_0|/2\,,$ und benutzt Du diese
letztstehende Abschätzung in $(\*)\,,$ so folgt
$$|y_0| \le |y-y_0|+|y| <|y_0|/2+|y|$$
Also?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 05.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
jetzt ist alles klar. ich hatte nur nicht im Hinterkopf, daß gilt:
abs(yo-y)+abs(y)=abs(y-yo)+abs(y)
Kann ich das immer machen? Ich hab dieses nicht bei mir im Script gefunden.
Nach mal vielen Dank,
Micha
PS: Sorry, hab mobil leider kein Tool um ordentliche formeln zu erstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
> jetzt ist alles klar. ich hatte nur nicht im Hinterkopf,
> daß gilt:
>
> abs(yo-y)+abs(y)=abs(y-yo)+abs(y)
Meinst Du
[mm] |y_0-y|+|y|=|y-y_0|+|y| [/mm] ?
Wenn ja, so ist das eine Trivialität, denn es ist
|a|=|-a| für alle a [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> Kann ich das immer machen? Ich hab dieses nicht bei mir im
> Script gefunden.
> Nach mal vielen Dank,
> Micha
>
> PS: Sorry, hab mobil leider kein Tool um ordentliche
> formeln zu erstellen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> jetzt ist alles klar. ich hatte nur nicht im Hinterkopf,
> daß gilt:
>
> abs(yo-y)+abs(y)=abs(y-yo)+abs(y)
>
> Kann ich das immer machen? Ich hab dieses nicht bei mir im
> Script gefunden.
na, Fred hatte es ja schon erklärt. Du kannst es auch so "rechnen":
[mm] $$|y_0-y|=|(-1)*(-y_0+y)|=|(-1)*(y-y_0)|=|-1|*|y-y_0|=1*|y-y_0|=|y-y_0|\,,$$
[/mm]
wenn die entsprechenden Regeln für das Rechnen mit dem Betrag bekannt
sind, oder Du sie beweisen kannst.
Oder Du zeigst das so:
[mm] $$|a|=|-a|\,$$
[/mm]
gilt für alle $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] denn es ist
[mm] $$|a|=\max\{-a,\;a\}$$
[/mm]
und
[mm] $$|-a|=\max\{-(-a),\;-a\}$$
[/mm]
und wegen [mm] $-(-a)=a\,$ [/mm] folgt die Behauptung.
> Nach mal vielen Dank,
> Micha
Gerne!
> PS: Sorry, hab mobil leider kein Tool um ordentliche
> formeln zu erstellen.
Schau' Dir einfach mal den Quelltext hier an oder lies' Dich auch hier (klick!) mal
durch - hier schreibt man mathematische Formeln im Wesentlichen wie
in Latex!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Do 06.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Habs gut hin bekommen.
und vielen dank für den nützlichen Link mit Tex.
Ist echt klasse hier im Forum.
Ich denke, bei den Ungleichungen müsste ich noch mal etwas tun. Gibt es hier Übungsaufgaben? Am besten in der Schwierigkeit gestaffelt, damit ich bei diesen Sattelfester werde?
Ich hab mal ein tolles Tutorium zur Vollständigen Induktion gemacht. Nach diesen 40 Aufgaben kann man es  ))
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): Da kann man den Webmaster befragen.
