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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Orthonormalbasis prüfen
Orthonormalbasis prüfen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormalbasis prüfen: Fehler: Lineare Unabhängigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Mi 03.12.2014
Autor: asg

Aufgabe
Es seien [mm] b_1 [/mm] := [mm] \frac{1}{3}\vektor{2 \\ 2 \\ -1}, b_2 [/mm] := [mm] \frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] und [mm] b_3 [/mm] := [mm] \frac{1}{3}\vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm]

a) Zeigen Sie: [mm] \mathfrak{B} [/mm] := [mm] \{\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\} [/mm] ist eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^3 [/mm] und die Matrix B:= [mm] (\vec{b_1} \vec{b_2} \vec{b_3}) \in \IR^{3x3} [/mm] mit den Spalten [mm] \vec{b_i} [/mm] ist orthogonal.

Hallo zusammen,

bei der Lösung des ersten Teils (Orthonormalbasis) zeige ich folgendes:

1. [mm] \vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\ [/mm] sind Einheitsvektoren
Das klappt.

2. Alles drei Vektoren sind paarweise orthogonal.
Das klappt auch.

3. Zeigen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren.

Hierzu habe ich das Gleichungssystem aufgestellt, aber irgendwo mache ich einen Fehler, so dass ich für für alle Koeffizienten 0 bekomme und komme nicht weiter ...

Also meine Lösung:

[mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]

[mm] \frac{1}{3}\lambda_1 \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm] + [mm] \frac{1}{3}\lambda_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] \frac{1}{3}\lambda_3 \vektor{2 \\ -1 \\ 2} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Ausmultiplizieren:

I    [mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}\lambda_2 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_3 [/mm] = 0

II   [mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_2 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}\lambda_3 [/mm] = 0

III [mm] -\frac{1}{3}\lambda_1 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_2 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_3 [/mm] = 0


I - II   [mm] -\frac{3}{3}\lambda_2 [/mm] + [mm] \frac{3}{3}\lambda_3 [/mm] = 0

          [mm] -\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \Rightarrow \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm]


[mm] \lambda_2 [/mm] in I einsetzen:

[mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}\lambda_3 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{3}\lambda_3 [/mm] = 0 | [mm] \cdot [/mm] 3

[mm] 2\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}\lambda_3 [/mm]

[mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] in III einsetzen:

[mm] -\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}\lambda_3) [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_3 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \frac{1}{6}\lambda_3 [/mm] + [mm] \frac{4}{3}\lambda_3 [/mm] = 0 | [mm] \cdot [/mm] 3

[mm] \frac{1}{3}\lambda_3 [/mm] + [mm] 4\lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \Rightarrow \lambda_3 [/mm] = 0

[mm] \lambda_3 [/mm] in I einsetzen:

[mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}\lambda_2 [/mm] + 0 = 0

[mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\lambda_2 [/mm] | [mm] \frac [/mm] 3

[mm] 2\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm]

[mm] \lambda_3 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] in II einsetzen:

[mm] \frac{2}{3}\lambda_1 [/mm] + [mm] \frac{2}{3}(2\lambda_1) [/mm] - 0 = 0

[mm] \frac{6}{3}\lambda_1 [/mm] = 0

[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = 0

Wenn ich so weiter rechne, bekomme ich natürlich auch für [mm] \lambda_2 [/mm] 0 heraus.

Damit aber die Vektoren linear unabhängig sind, dürfen nicht alle [mm] \lambda [/mm] s Null werden.

Ich vermute stark, dass ich das Einsetzverfahren nicht richtig durchführe.

Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt?


Der zweite Teil der Aufgabe: B ist orthogonal, da B [mm] \cdot B^T [/mm] = I herauskommt.

Vielen Dank vorab

Liebe Grüße

Asg

        
Bezug
Orthonormalbasis prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Es seien [mm]b_1[/mm] := [mm]\frac{1}{3}\vektor{2 \\ 2 \\ -1}, b_2[/mm] :=
> [mm]\frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm] und [mm]b_3[/mm] :=
> [mm]\frac{1}{3}\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie: [mm]\mathfrak{B}[/mm] := [mm]\{\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\}[/mm]
> ist eine Orthonormalbasis des [mm]\IR^3[/mm] und die Matrix B:=
> [mm](\vec{b_1} \vec{b_2} \vec{b_3}) \in \IR^{3x3}[/mm] mit den
> Spalten [mm]\vec{b_i}[/mm] ist orthogonal.
>  Hallo zusammen,
>  
> bei der Lösung des ersten Teils (Orthonormalbasis) zeige
> ich folgendes:
>  
> 1. [mm]\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}\[/mm] sind Einheitsvektoren
>  Das klappt.
>  
> 2. Alles drei Vektoren sind paarweise orthogonal.
>  Das klappt auch.
>  
> 3. Zeigen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren.
>  
> Hierzu habe ich das Gleichungssystem aufgestellt, aber
> irgendwo mache ich einen Fehler, so dass ich für für alle
> Koeffizienten 0 bekomme und komme nicht weiter ...
>  
> Also meine Lösung:
>  
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] +
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]

Du meinst sicher:

[mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] + [mm]\lambda_3 \cdot \vec{b_3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]


>  
> [mm]\frac{1}{3}\lambda_1 \vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{3}\lambda_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{3}\lambda_3 \vektor{2 \\ -1 \\ 2} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Ausmultiplizieren:
>  
> I    [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] - [mm]\frac{1}{3}\lambda_2[/mm] +
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
> II   [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] + [mm]\frac{2}{3}\lambda_2[/mm] -
> [mm]\frac{1}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
> III [mm]-\frac{1}{3}\lambda_1[/mm] + [mm]\frac{2}{3}\lambda_2[/mm] +
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
>
> I - II   [mm]-\frac{3}{3}\lambda_2[/mm] + [mm]\frac{3}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]-\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm]
>  
>
> [mm]\lambda_2[/mm] in I einsetzen:
>  
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] - [mm]\frac{1}{3}\lambda_3[/mm] +
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] + [mm]\frac{1}{3}\lambda_3[/mm] = 0 | [mm]\cdot[/mm] 3
>  
> [mm]2\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = [mm]-\frac{1}{2}\lambda_3[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] in III einsetzen:
>  
> [mm]-\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}\lambda_3)[/mm] + [mm]\frac{2}{3}\lambda_3[/mm]
> + [mm]\frac{2}{3}\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\frac{1}{6}\lambda_3[/mm] + [mm]\frac{4}{3}\lambda_3[/mm] = 0 | [mm]\cdot[/mm] 3
>  
> [mm]\frac{1}{3}\lambda_3[/mm] + [mm]4\lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_3[/mm] = 0
>  
> [mm]\lambda_3[/mm] in I einsetzen:
>  
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] - [mm]\frac{1}{3}\lambda_2[/mm] + 0 = 0
>  
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] = [mm]\frac{1}{3}\lambda_2[/mm] | [mm]\frac[/mm] 3
>  
> [mm]2\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
>  
> [mm]\lambda_3[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] in II einsetzen:
>  
> [mm]\frac{2}{3}\lambda_1[/mm] + [mm]\frac{2}{3}(2\lambda_1)[/mm] - 0 = 0
>  
> [mm]\frac{6}{3}\lambda_1[/mm] = 0
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = 0
>  
> Wenn ich so weiter rechne, bekomme ich natürlich auch für
> [mm]\lambda_2[/mm] 0 heraus.
>  
> Damit aber die Vektoren linear unabhängig sind, dürfen
> nicht alle [mm]\lambda[/mm] s Null werden.

Oha ! Da hast Du was in den falschen Hals bekommen ! Damit die Vektoren linear unabhängig sind , muss(!) aus

     [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] + [mm]\lambda_3 \cdot \vec{b_3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]


  folgen: [mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0 [/mm]

Viel einfacher hättest Du das haben können, wenn Du z.B. die Gleichung

(*)    [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] + [mm]\lambda_3 \cdot \vec{b_3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]

mit [mm] \vec{b_1} [/mm] durchmultiplizierst. Da die Vektoren paarweise orthogonl sind bekommst Du:

       [mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1}*\vec{b_1}=0. [/mm]

Wegen [mm] \vec{b_1}*\vec{b_1}=1 [/mm] folgt [mm] \lambda_1=0. [/mm]

[mm] \lambda_2=0 [/mm] bekommt Du , wenn Du (*) mit [mm] \vec{b_2} [/mm] multiplizierst.

Wie man [mm] \lambda_3=0 [/mm] bekommt, dürfte nun klar sein.

FRED


>  
> Ich vermute stark, dass ich das Einsetzverfahren nicht
> richtig durchführe.
>  
> Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
>  
>
> Der zweite Teil der Aufgabe: B ist orthogonal, da B [mm]\cdot B^T[/mm]
> = I herauskommt.
>  
> Vielen Dank vorab
>  
> Liebe Grüße
>  
> Asg


Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis prüfen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:33 Sa 06.12.2014
Autor: asg

Hallo Fred,

Dankeschön für die prompte Antwort.

>  >  
> > Damit aber die Vektoren linear unabhängig sind, dürfen
> > nicht alle [mm]\lambda[/mm] s Null werden.
>  
> Oha ! Da hast Du was in den falschen Hals bekommen ! Damit
> die Vektoren linear unabhängig sind , muss(!) aus
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] +
> [mm]\lambda_3 \cdot \vec{b_3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>  
>
> folgen: [mm]\lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0[/mm]
>  

Ich habe wohl vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen :) Natürlich hast recht.

> Viel einfacher hättest Du das haben können, wenn Du z.B.
> die Gleichung
>  
> (*)    [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm]
> + [mm]\lambda_3 \cdot \vec{b_3}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>  
> mit [mm]\vec{b_1}[/mm] durchmultiplizierst. Da die Vektoren
> paarweise orthogonl sind bekommst Du:
>  
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1}*\vec{b_1}=0.[/mm]
>  
> Wegen [mm]\vec{b_1}*\vec{b_1}=1[/mm] folgt [mm]\lambda_1=0.[/mm]
>  
> [mm]\lambda_2=0[/mm] bekommt Du , wenn Du (*) mit [mm]\vec{b_2}[/mm]
> multiplizierst.
>  
> Wie man [mm]\lambda_3=0[/mm] bekommt, dürfte nun klar sein.
>  
> FRED
>  
>

Das ist in der Tat geniaaaaaal – ich bezweifele dass ich drauf gekommen wäre, auch wenn ich länger darüber nachgedacht hätte. Aber in der Eile, die ich hatte, wäre ich bestimmt nicht drauf gekommen. Schon wieder was Neues gelernt :)

Ich habe nun etwas weiter nachgedacht und ist mir Folgendes aufgefallen:

Da das Skalarprodukt eines Vektor (ausgenommen dem Nullvektor) mit sich selbst nie 0 ergeben kann,  müsste doch deine Methode allgemein gültig sein und man müsste es nicht für alle drei Vektoren einzeln zeigen, sondern allgmein etwa so zeigen:

Wegen [mm] \vec{b_i} \cdot \vec{b_i} \ne [/mm] 0 und [mm] \vec{b_i} \cdot \vec{b_j} [/mm] = 0 für i [mm] \ne [/mm] j gilt [mm] \lambda_i [/mm] = 0


Oder?

Liebe Grüße

Asg

Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis prüfen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 08.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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