PDG 1. Ordn., inhom. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 08.12.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Löse:
[mm] [mm] x*z_x+x*z_y+z [/mm] =1 |
Sicher ein einfaches Beispiel, aber ich bin mir beim Lösen nicht sicher...
ich habe zuerst das charakt. System gemacht:
[mm]
[mm] y'=\bruch{x}{x}=1
[/mm]
[mm] y=x+C_1(x,y)
[/mm]
[mm] C_1=y-x
[/mm]
W ist in Folge eine willk. Funktion
dann ist [mm] \alpha=W(C_1)=W(y-x)
[/mm]
speziell die ident. Abb:
[mm] \alpha=y-x
[/mm]
für [mm] \beta [/mm] =y
wird [mm] z(x,y)=Z_1(\alpha, \beta)
[/mm]
[mm] Z_x=Z_\alpha [/mm] * (-1)
[mm] Z_y=Z_\alpha*(1)+ Z_\beta [/mm] (1)
also ist [mm] Z_x+Z_y=Z_\beta
[/mm]
nur wie löse ich das jetzt auf?
(PS: wie kann ich eine Welle/Tilde über eine Funktion machen, dann also statt [mm] Z_1 [/mm] "Z Tilde" schreiben?)
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Hallo chrissi99,
> Löse:
>
> [mm][mm]x*z_x+x*z_y+z[/mm] =1
Sicher ein einfaches Beispiel, aber ich bin mir beim Lösen nicht sicher...
ich habe zuerst das charakt. System gemacht:
[mm]
> [mm]y'=\bruch{x}{x}=1[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]y=x+C_1(x,y)[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]C_1=y-x[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]W ist in Folge eine willk. Funktion[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]dann ist [mm]\alpha=W(C_1)=W(y-x)[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]speziell die ident. Abb:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]\alpha=y-x[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] für [mm]\beta[/mm] =y[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]wird [mm]z(x,y)=Z_1(\alpha, \beta)[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Z_x=Z_\alpha[/mm] * (-1)[/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm]Z_y=Z_\alpha*(1)+ Z_\beta[/mm] (1)[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]also ist [mm]Z_x+Z_y=Z_\beta[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]nur wie löse ich das jetzt auf?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
Setze dann die gewonnenen Erkenntnisse in die partielle DGL ein.
> [mm][mm](PS: wie kann ich eine Welle/Tilde über eine Funktion machen, dann also statt [mm]Z_1[/mm] "Z Tilde" schreiben?) [/mm][/mm]
Siehe hier unter "Markierung von Zeichen"
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Danke für deine Hilfe!
also in die ursprüngliche PDG?
leider kann ich deine Anmerkung nicht lesen, da dürfte mit der Formatierung was daneben gegangen sein, da alles zwischen [mm] steht?!
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mo 08.12.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich könnte die zwei Gleichungen mit x multiplizieren, dann ergeben sie eine Form wie in der Angabe:
[mm] x Z_x+ x Z_y = x Z_\beta [/mm]
also ist [mm] x \tilde Z_\beta =1 - Z[/mm]
stimmt das so weit?
wie bringe ich das jetzt auf die Lösung?
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Di 09.12.2008 | | Autor: | chrisi99 |
jetzt bin ich glaube ich weiter (bitte überprüfen):
aus
[mm] x \tilde Z_\beta + \tilde Z=1 \rightarrow
(\beta-\alpha) \tilde Z_\beta=1-\tilde Z \rightarrow
ln( 1-\tilde Z)=ln(\beta-\alpha)+ln(W(\alpha))
Rücktransformation:
Z(x,y)=1-x W(y-x)
[/mm]
schaut das richtig aus?
Lg
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Hallo chrissi99,
> jetzt bin ich glaube ich weiter (bitte überprüfen):
>
> aus
>
> [mm]x \tilde Z_\beta + \tilde Z=1 \rightarrow
(\beta-\alpha) \tilde Z_\beta=1-\tilde Z \rightarrow
ln( 1-\tilde Z)=ln(\beta-\alpha)+ln(W(\alpha))
Rücktransformation:
Z(x,y)=1-x W(y-x)
[/mm]
>
> schaut das richtig aus?
Bis hierhin kann ich Dir folgen:
[mm]\left(\beta - \alpha\right)*\tilde{Z}_{\beta}=1-\tilde{Z}[/mm]
[mm]\Rightarrow \red{-}\ln\left(1-\tilde{Z}\right)=\ln\left(\beta - \alpha\right) +C_{2}[/mm]
Warum jetzt aber diese Konstante [mm]C_{2}=\ln\left(W\left(\alpha\right)\right)[/mm] sein soll,
kann ich mir nicht erklären.
Aus obigem folgt ja dann
[mm]C_{2}=-\ln\left(1-z\right)-\ln\left(x\right)[/mm]
Dann ist es so, daß die allgemeine Lösung der partiellen DGL
[mm]w\left(C_{1},C_{2}\right)=0[/mm]
ist.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 09.12.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Also [mm] [mm] C_2=W(\beta) [/mm] erhalte ich, da ich ja nach [mm] \alpha [/mm] integriere und wie bei normalen DGL eine "Konstante" dazu erhalten muss (die aber bei partiellen durch eine willk. Funktion repräsentiert wird). Der ln ist ja nur aus Gründen der geschickteren Auflösung gewählt, da ja
[mm] ln(W)=\tilde [/mm] W auch wieder eine willk. Fkt ist!
vermutlich ist deine implizite Darstellung zu meiner gleichwertig, leider kann ich das nicht zeigen ... :(
danke für deine Bemühungen!
Lg
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Hallo chrisi99,
> Also [mm][mm]C_2=W(\beta)[/mm] erhalte ich, da ich ja nach
>[mm]\alpha[/mm] integriere und wie bei normalen DGL eine "Konstante"
>dazu erhalten muss (die aber bei partiellen durch eine willk. Funktion
>repräsentiert wird). Der ln ist ja nur aus Gründen der geschickteren
>Auflösung gewählt, da ja
>[mm]ln(W)=\tilde[/mm] W auch wieder eine willk. Fkt ist!
>vermutlich ist deine implizite Darstellung zu meiner gleichwertig, leider kann i>ich das nicht zeigen ... :(
Wie lautet denn Deine Lösungsfunktion?
[mm]z\left(x,y\right)=1-x*W\left(y-x\right)[/mm]
oder
[mm]z\left(x,y\right)=\left(1-x\right)*W\left(y-x\right)[/mm]
Dies ist in dem Post, in dem Du die Lösungsfunktion gepostet hast,
nur schwer zu erkennen.
Ich bekomme eine implizite Lösungsfunktion, die so aussieht:
[mm]w\left( \ y-x \ ,\ -\ln\left( \ x*\left(1-z\right) \ \right) \ \right)=0[/mm]
>danke für deine Bemühungen!
>Lg
Gruß
MathePower
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