Partielle Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sara_99 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen folgender Funktion:
f(x,y)= [mm] ((1+x^2+y^2)^{3/2}) [/mm] (arctan [mm] (\wurzel{(x^2+y^2)}). [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Ableitungsaufgabe bei der ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann.
Die Ableitungen nach x und y sind ja gleich, nehmen wir jetzt beispielshalber die Ableitung nach x. Hier muss man die Produktregel anwenden, den ersten Teil habe ich ja auch richtig (den ersten Term abgeleitet mal den mit arctan usw.).
Mir geht es jetzt eigentlich nur um den Teil, wo man arctan ableitet und - nach der Produktregel eben- den "vorderen Teil" übernimmt.
In der Lösung steht da dafür:
f'= [mm] x(1+x^2+y^2)^{1/2 }(3arctan (\wurzel{(x^2+y^2)} [/mm] + [mm] 1/\wurzel{(x^2+y^2)}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie man auf diesen zweiten Ableitungsteil kommt [mm] (x(1+x^2+y^2)(^{1/2})(1/\wurzel{(x^2+y^2)}.
[/mm]
Ich habe dafür raus: [mm] ((1+x^2+y^2)^{3/2}) (1/1+x^2+y^2)
[/mm]
Weil ich dachte, dass die Ableitung von arctan(x) ja [mm] 1/1+x^2 [/mm] ist?
Erkennt vielleicht jemand, wo mein Fehler liegt? Freue mich über jede Hilfe, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sara_99 |
Habe mich vertippt, meine Ableitung ist:
[mm] ((1+x^2+y^2)^{3/2}) (2x/1+x^2+y^2) [/mm]
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Hallo sara_99,
> Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen folgender
> Funktion:
> f(x,y)= [mm]((1+x^2+y^2)^{3/2})[/mm] (arctan [mm](\wurzel{(x^2+y^2)}).[/mm]
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu dieser Ableitungsaufgabe bei der
> ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann.
>
> Die Ableitungen nach x und y sind ja gleich, nehmen wir
> jetzt beispielshalber die Ableitung nach x. Hier muss man
> die Produktregel anwenden, den ersten Teil habe ich ja auch
> richtig (den ersten Term abgeleitet mal den mit arctan
> usw.).
> Mir geht es jetzt eigentlich nur um den Teil, wo man arctan
> ableitet und - nach der Produktregel eben- den "vorderen
> Teil" übernimmt.
> In der Lösung steht da dafür:
> f'= [mm]x(1+x^2+y^2)^{1/2 }(3arctan (\wurzel{(x^2+y^2)}[/mm] +
> [mm]1/\wurzel{(x^2+y^2)}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie man auf diesen zweiten Ableitungsteil
> kommt [mm](x(1+x^2+y^2)(^{1/2})(1/\wurzel{(x^2+y^2)}.[/mm]
> Ich habe dafür raus: [mm]((1+x^2+y^2)^{3/2}) (1/1+x^2+y^2)[/mm]
>
> Weil ich dachte, dass die Ableitung von arctan(x) ja
> [mm]1/1+x^2[/mm] ist?
Das ist auch richtig.
Hier haben wir allerdings [mm]\arctan\left(g\left(x,y\right)\right)[/mm]
Deshalb werden die partiellen Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel gebildet:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left(\arctan\left(g\left(x,y\right)\right)\right)=\bruch{1}{1+g^{2}\left(x,y\right)}*\bruch{\partial g\left(x,y\right)}{\partial x}[/mm]
> Erkennt vielleicht jemand, wo mein Fehler liegt? Freue
> mich über jede Hilfe, danke!
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sara_99 |
Hallo,
danke für deine Antwort, ich habe mich im ersten Beitrag bei meiner Ableitung vertippt und später noch einen Beitrag geschrieben. Wäre die Ableitung dann richtig? Und würde meine Ableitung dann der Lösung entsprechen? (Mit Umformen tue ich mich manchmal ein bisschen schwer...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sara!
In Deiner Ableitung fehlt noch die innere Ableitung gemäß  Kettenregel für den Term [mm] $\red{\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm] .
Es fehlt also der Term [mm] $\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sara_99 |
Sorry, aber ich verstehe es leider nicht so ganz.
Wir müssen die Abeleitung von arctan(g(x,y)) bilden. Das g(x,y) ist hier: [mm] g(x)=\wurzel{x^2+y^2}. g^2 [/mm] ist damit [mm] (x^2+y^2). [/mm] Die Ableitung von g nach x ist: 2x.
Dann würde ich für die Ableitung sagen:
[mm] (2x/1+x^2+y^2) [/mm]
Warum käme da denn noch dieser zusätzliche Term hinzu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sara!
Das ist der Term, wenn Du die Wurzel [mm] $\wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] ableitest.
Denn es gilt: [mm] $\left( \ \wurzel{z} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{z}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 26.07.2008 | | Autor: | sara_99 |
Ahhhhh, es macht Klick! Ich habe die ganze Zeit diese Wurzel verdrängt, vielen Dank für deine Hilfe! :)
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