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| Aufgabe | Zeige für x,y,p,q [mm] \in [/mm] H, p=a+bi+cj+dij, gilt:
1) [mm] \overline{pq}=\overline{q}\cdot \overline{p}, p\overline{p}=\overline{p}p=a^2+b^2+c^2+d^2
[/mm]
2) [mm] Re(x)=Re(\overline{x}), Re(x\overline{y})=Re(y\overline{x}), Re(xp\overline{x})=Re(\overline{x}), [/mm] wenn [mm] p\in H^{+}
[/mm]
[mm] (H^+=\{p\in H| ||p||^2=a^2+b^2+c^2+d^2=1\})
[/mm]
3) [mm] x\rightarrow [/mm] px und x [mm] \rightarrow x\overline{p} [/mm] werden bzgl. Basis 1,i,j,ij durch die in der VL angegeben Matrix aus [mm] GL_4(\IR) [/mm] repräsentiert |
hallo zusammen,
ich bin folgend an die aufgabe herangegangen:
1) p= Re(p)+Im(p), q=Re(q)+Im(q)
[mm] \overline{pq}=\overline{(Re(p)+Im(p))(Re(q)+Im(q))}=
[/mm]
[mm] \overline{Re(p)Re(q)+Re(p)Im(q)+Im(p)Re(q)+Im(p)Im(q)}
[/mm]
=Re(p)Re(q)-Re(p)Im(q)-Im(p)Re(q)+Im(p)Im(q)
=Re(q)Re(p)-Re(q)Im(p)-Im(q)Re(p)+Im(q)Im(p)
=(Re(q)-Im(q))(Re(p)-Im(p))
[mm] =\overline{(Re(q)+Im(q))}cdot \overline{(Re(p)+Im(p))}
[/mm]
[mm] =\overline{q}\cdot \overline{p}
[/mm]
[mm] p\overline{p}=(a+bi+cj+dij)(a-bi-cj-dij)=(a^2+b^2+c^2+d^2)+(-ab+ab-cd+cd)i+(-ac+bd+ac-bd)j+(-ad-bc+bc+ad)ij=a^2+b^2+c^2+d^2
[/mm]
2) Sei [mm] x=x_1+x_2i+x_3j+x_4ij, y=y_1+y_2i+y_3j+y_4ij [/mm] dann ist
[mm] Re(x)=Re(x_1+x_2i+x_3j+x_4ij)=x_1=Re(x_1-x_2i-x_3j-x_4ij)
[/mm]
[mm] =Re(\overline{x})
[/mm]
[mm] Re(x\overline{y})=Re((x_1+x_2i+x_3j+x_4ij)(y_1-y_2i-y_3j-y_4ij))=Re((x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)+(-x_1y_2+x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3)i+(-x_1y_3+x_2y_4+x_3y_1-x_4y_2)j+(-x_1y_4-x_2y_3+x_3y_2+x_4y_1)ij)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4=<\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4},\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4}>=<\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4},\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}>=Re(y\overline{x})
[/mm]
[mm] Re(xp\overline{x})=Re(x)\underbrace{=}_{1)}Re(\overline{x})
[/mm]
3) weiß ich leider nicht wie ich herangehen soll. kann mir da jemand etwas auf die sprünge helfen?
ist das was ich gemacht habe richtig?
ich bin für jede hilfe dankbar
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kann mir wirklich niemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 20.01.2016 | | Autor: | hippias |
Ich sage nur etwas zur 3. Teilaufgabe. Die anderen sehen nach Überfliegen aber richtig aus.
3. Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass Du z.B. die Matrixdarstellung der lineare Abbildung [mm] $\varphi(x):= [/mm] px$ in der Basis $1,i,j,k$ finden sollst. Dafür genügt es die Funktion auf den Basiselementen auszuwerten. Gilt dabei $p= [mm] \alpha+\beta i+\gamma j+\delta [/mm] k$, so ist [mm] $\varphi(1)= [/mm] p= = [mm] \alpha+\beta i+\gamma j+\delta [/mm] k$, sodass in der ersten Spalte des gesuchten Matrix lautet [mm] $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)^{T}$. [/mm] Ebenso mit den anderen Basisvektoren. Das hast Du bestimmt schon oft gemacht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 20.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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