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Quaternionen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 16:12 Mo 18/01/2016
Author: questionpeter

Aufgabe
Zeige für x,y,p,q [mm] \in [/mm] H, p=a+bi+cj+dij, gilt:
1) [mm] \overline{pq}=\overline{q}\cdot \overline{p}, p\overline{p}=\overline{p}p=a^2+b^2+c^2+d^2 [/mm]

2) [mm] Re(x)=Re(\overline{x}), Re(x\overline{y})=Re(y\overline{x}), Re(xp\overline{x})=Re(\overline{x}), [/mm] wenn [mm] p\in H^{+} [/mm]
[mm] (H^+=\{p\in H| ||p||^2=a^2+b^2+c^2+d^2=1\}) [/mm]

3) [mm] x\rightarrow [/mm] px und x [mm] \rightarrow x\overline{p} [/mm] werden bzgl. Basis 1,i,j,ij durch die in der VL angegeben Matrix aus [mm] GL_4(\IR) [/mm] repräsentiert


hallo zusammen,

ich bin folgend an die aufgabe herangegangen:

1) p= Re(p)+Im(p), q=Re(q)+Im(q)

   [mm] \overline{pq}=\overline{(Re(p)+Im(p))(Re(q)+Im(q))}= [/mm]

[mm] \overline{Re(p)Re(q)+Re(p)Im(q)+Im(p)Re(q)+Im(p)Im(q)} [/mm]

=Re(p)Re(q)-Re(p)Im(q)-Im(p)Re(q)+Im(p)Im(q)

=Re(q)Re(p)-Re(q)Im(p)-Im(q)Re(p)+Im(q)Im(p)

=(Re(q)-Im(q))(Re(p)-Im(p))

[mm] =\overline{(Re(q)+Im(q))}cdot \overline{(Re(p)+Im(p))} [/mm]

[mm] =\overline{q}\cdot \overline{p} [/mm]

[mm] p\overline{p}=(a+bi+cj+dij)(a-bi-cj-dij)=(a^2+b^2+c^2+d^2)+(-ab+ab-cd+cd)i+(-ac+bd+ac-bd)j+(-ad-bc+bc+ad)ij=a^2+b^2+c^2+d^2 [/mm]


2) Sei [mm] x=x_1+x_2i+x_3j+x_4ij, y=y_1+y_2i+y_3j+y_4ij [/mm] dann ist

[mm] Re(x)=Re(x_1+x_2i+x_3j+x_4ij)=x_1=Re(x_1-x_2i-x_3j-x_4ij) [/mm]

[mm] =Re(\overline{x}) [/mm]

[mm] Re(x\overline{y})=Re((x_1+x_2i+x_3j+x_4ij)(y_1-y_2i-y_3j-y_4ij))=Re((x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)+(-x_1y_2+x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3)i+(-x_1y_3+x_2y_4+x_3y_1-x_4y_2)j+(-x_1y_4-x_2y_3+x_3y_2+x_4y_1)ij)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4=<\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4},\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4}>=<\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3\\y_4},\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4}>=Re(y\overline{x}) [/mm]

[mm] Re(xp\overline{x})=Re(x)\underbrace{=}_{1)}Re(\overline{x}) [/mm]

3) weiß ich leider nicht wie ich herangehen soll. kann mir da jemand etwas auf die sprünge helfen?

ist das was ich gemacht habe richtig?
ich bin für jede hilfe dankbar

        
Bezug
Quaternionen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 00:36 Mi 20/01/2016
Author: questionpeter

kann mir wirklich niemand helfen?

Bezug
        
Bezug
Quaternionen: Teil 3)
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:23 Mi 20/01/2016
Author: hippias

Ich sage nur etwas zur 3. Teilaufgabe. Die anderen sehen nach Überfliegen aber richtig aus.

3. Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass Du z.B. die Matrixdarstellung der lineare Abbildung [mm] $\varphi(x):= [/mm] px$ in der Basis $1,i,j,k$ finden sollst. Dafür genügt es die Funktion auf den Basiselementen auszuwerten. Gilt dabei $p= [mm] \alpha+\beta i+\gamma j+\delta [/mm] k$, so ist [mm] $\varphi(1)= [/mm] p= = [mm] \alpha+\beta i+\gamma j+\delta [/mm] k$, sodass in der ersten Spalte des gesuchten Matrix lautet [mm] $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)^{T}$. [/mm] Ebenso mit den anderen Basisvektoren. Das hast Du bestimmt schon oft gemacht!


Bezug
        
Bezug
Quaternionen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:20 Mi 20/01/2016
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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