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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Do 10.06.2010
Autor: rml_

Aufgabe
Die Temperatur in Celsius ist in einem Gebiet gegeben durch T(x; y; z) = [mm] 2x^2 [/mm] -xyz.
Ein Teilchen bewegt sich in dem Gebiet, wobei die Position zum Zeitpunkt t gegeben
ist durch x(t) = [mm] 2t^2; [/mm] y(t) = 3t und z(t) = [mm] -t^2. [/mm] Dabei wird die Zeit in Sekunden und die
Länge in Metern gemessen.
(a) Wie schnell ist die Temperatur¨anderung in ±C/m, die das Teilchen am Punkt P =
(8; 6; ¡4) verspürt?

alos ich hab den gradienten schon und einfach mal P eingesetzt , weil ich normalerweise nur aufgaben kenn bei denen auch noch eine richtung gegeben ist für die ich die richtungsableitugne errechnen soll. hier hab ich aber keine richtung , es sind dafür aber diese 3 gleichungen gegeben, was genau soll ich mit denen machen?

danke


        
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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Do 10.06.2010
Autor: leduart

Hallo
der grad gibt dir doch an, wie sin in x,y,z richtung die Temperatur zur festen Zeit t=t1 ndert.
du willst doch dT/dt wissen! kettenregel ist das Stichwort.
Gruss leduart

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Do 10.06.2010
Autor: rml_

kettenregel? du meinst die kettenregel beim ableiten? wenn ja wo soll ich die anwenden? der gradient ist doch schon  das abgeleitete

Bezug
                        
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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> kettenregel? du meinst die kettenregel beim ableiten? wenn
> ja wo soll ich die anwenden? der gradient ist doch schon  
> das abgeleitete


Die Funktion

[mm]T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)[/mm]

ist mit Hilfe der Kettenregel zu differenzieren.


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Do 10.06.2010
Autor: rml_

ah ok, aber wie?

einzeln? dann hab ich einfah nur wieder 3 lineare gleichungen, oder versteh ich da was falsch

danke

Bezug
                                        
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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> ah ok, aber wie?
>  
> einzeln? dann hab ich einfah nur wieder 3 lineare
> gleichungen, oder versteh ich da was falsch


Hier gehst Du wie hier vor.

>  
> danke


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 10.06.2010
Autor: rml_

danke für den link aber die kettenregel kann ich , meine frage hier ist:

ich habe 3 gleichungen alle abhängig von t,  ich soll mit der kettenregel ableiten , ok, aber was genau?

[mm] T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right) [/mm] das sagt mir nichts , soll ich \ [mm] x\left(t\right) [/mm]  \ [mm] y\left(t\right) [/mm] und \ [mm] z\left(t\right) [/mm] einzeln ableiten? den einzeln abgeleitet brauch ich keine kettenregel,

also sry ich versteh das grade wirklich nicht:/

edit: braucht man da eine jakobi matrix?

Bezug
                                                        
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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_

> danke für den link aber die kettenregel kann ich , meine
> frage hier ist:
>  
> ich habe 3 gleichungen alle abhängig von t,  ich soll mit
> der kettenregel ableiten , ok, aber was genau?
>
> [mm]T\left( \ x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)[/mm]
> das sagt mir nichts , soll ich \ [mm]x\left(t\right)[/mm]  \
> [mm]y\left(t\right)[/mm] und \ [mm]z\left(t\right)[/mm] einzeln ableiten? den
> einzeln abgeleitet brauch ich keine kettenregel,
>  
> also sry ich versteh das grade wirklich nicht:/
>  
> edit: braucht man da eine jakobi matrix?


Du brauchst hier zwei Jakobi-Matrizen,

Die werden dann miteinander multipliziert.


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Do 10.06.2010
Autor: rml_

ok ich hab da paar probleme, wie komm ich denn auf die 2 jacobi matrizen?

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml,

> ok ich hab da paar probleme, wie komm ich denn auf die 2
> jacobi matrizen?


Wenn Du so nicht darauf kommst,
dann kannst Du auch unmittelbar [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right), \ z\left(t\right)[/mm]
in [mm]T\left(x,y,z\right)[/mm] einsetzen, und dann nach t differenzieren.


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Do 10.06.2010
Autor: rml_

ok hab ich gemacht ergebnis : [mm] 56t^3 [/mm] und jetzt? jakobi matrix ist doch 1x2?
und wo krieg ich die zweite her?



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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> ok hab ich gemacht ergebnis : [mm]56t^3[/mm] und jetzt? jakobi
> matrix ist doch 1x2?


Damit hat sich wohl die Kettenregel erledigt.


>  und wo krieg ich die zweite her?
>  


Nun, setze formal x,y,z,als Funktion von t an und differenziere dann:

[mm]T\left(t\right)=2*x^{2}\left(t\right)-x\left(t\right)*y\left(t\right)*z\left(t\right)[/mm]

Setze hier nicht die Parametrisierung ein.

Das Ergebnis schreibts Du dann als ein Skalarprodukt.

Die beiden Vektoren, die da entstehen sind dann, die "Jacobi-Matrizen".


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Do 10.06.2010
Autor: rml_

also ich soll nicht für x(t) = [mm] 2t^2 [/mm] einsetzen?  aber wie kann ich x(t) dann differenzieren?

und übrigens vielen vielen dank für deine zeit:)

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> also ich soll nicht für x(t) = [mm]2t^2[/mm] einsetzen?  aber wie

Genau.


> kann ich x(t) dann differenzieren?


Ja, dann ist die Ableitung von [mm]x\left(t\right)[/mm]:

[mm]\bruch{d}{dt}x\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)[/mm]


>
> und übrigens vielen vielen dank für deine zeit:)


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Do 10.06.2010
Autor: rml_

naja sry aber das hilft mir nichts, darunter kann ich mir nichts vorstellen, ich meine wie soll ich denn damit rechnen? könntest du mir vll schnell reinschreiben wie deine jakobi matrizen aussehen?

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> naja sry aber das hilft mir nichts, darunter kann ich mir
> nichts vorstellen, ich meine wie soll ich denn damit
> rechnen? könntest du mir vll schnell reinschreiben wie
> deine jakobi matrizen aussehen?

Nun die Ableitung von T nach der Zeit ergibt sich gemäß Kettenregel zu:

[mm]\bruch{d}{dt}T\left( \ x\left(t\right), \ z\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)=\operatorname{grad}T\left( \ x\left(t\right), \ z\left(t\right), \ z\left(t\right)\ \right)*\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]

,wobei grad  T die partiellen Ableitungen von T nach x,y,z sind.


Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Do 10.06.2010
Autor: rml_

[mm] \operatorname{grad}T\left( \ 4x-yz, -xz, -xy)\ \right)\cdot{}\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)} [/mm]

ich hab jetzt die ableitungen eingesetzt, nciht falsch oder?
ich würde jetzt den punkt einsetzten bzw. x(t) y(t) und z(t) und für t=2 da der punkt sich für t=2 ergibt.

soweit richtig?

Bezug
                                                                                                                                        
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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,

> [mm]\operatorname{grad}T\left( \ 4x-yz, -xz, -xy)\ \right)\cdot{}\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
>  
> ich hab jetzt die ableitungen eingesetzt, nciht falsch
> oder?


grad T ist [mm]\pmat{4x-yz, -xz, -xy}[/mm]


>  ich würde jetzt den punkt einsetzten bzw. x(t) y(t) und
> z(t) und für t=2 da der punkt sich für t=2 ergibt.


Für den Gradienten ist das richtig.

Die Ableitung

[mm]\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]

ist noch zu bilden, dann kannst Du hier t=2 setzen.


>  
> soweit richtig?



Gruss
MathePower

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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Do 10.06.2010
Autor: rml_

ok ich bin auf ein problem gestoßen:(

wenn ich [mm] \bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)} [/mm] ableite dann fällt bei y(t) das t weg sprich ich kann meine y-koordinate von dem punkt nicht einsetzen, mach ich was falsch oder ist das egal?

sprich [mm] \bruch{d}{dt}\pmat{4t \\3 \\ -2t} [/mm]

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,


> ok ich bin auf ein problem gestoßen:(
>  
> wenn ich [mm]\bruch{d}{dt}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) \\ z\left(t\right)}[/mm]
> ableite dann fällt bei y(t) das t weg sprich ich kann
> meine y-koordinate von dem punkt nicht einsetzen, mach ich
> was falsch oder ist das egal?


Eine lineare Funktion abgegeleitet, gibt nun mal eine Konstante.


>  
> sprich [mm]\bruch{d}{dt}\pmat{4t \\3 \\ -2t}[/mm]  


Das ist richtig. [ok]


Gruss
MathePower


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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 10.06.2010
Autor: rml_

ok ich hab jetzt beide matrizen multipliziert:

[mm] \pmat{32x -8yz\\ -3xz \\ 4yz} [/mm]

dann P eingesetzt [mm] \pmat{448 \\ 96 \\ 96} [/mm]

bin ich schon fertig, oder was sagt der vektor aus?

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo rml_,


> ok ich hab jetzt beide matrizen multipliziert:
>  
> [mm]\pmat{32x -8yz\\ -3xz \\ 4yz}[/mm]
>  
> dann P eingesetzt [mm]\pmat{448 \\ 96 \\ 96}[/mm]
>  
> bin ich schon fertig, oder was sagt der vektor aus?


Leider stimmt das nicht.

Die beiden Vektoren, die Du erhältst sind skalar miteinander zu multipliziren.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Richtungsableitung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Fr 11.06.2010
Autor: rml_

ok, skalar multipliziert erhalte ich eine gleichung in abhängigkeit von t, x(t), y(t), z(t), eingesetzt erhalte ich einen wert.

inwiefern kann ich diesen interpretieren?
ist das mein temperaturänderung/ meter?
und wenn ich temperaturänderun/ sekunde haben will, was läuft dann anders?

danke

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Richtungsableitung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Fr 11.06.2010
Autor: leduart

Hallo
du hast doch die Abl. nach der Zeit an einem festen Punkt berechnet, also ist das die nderung pro Zeit. die Änderung pro Weg kannst du nur zu einem festen Zeitpunkt UND in einer gegebenen Richtung ausrechnen, aber das war ja hier nicht gefragtIn deinem ersten post stand [mm] z(t)=-t^2 [/mm] damit kann man ie Aufgabe nicht lösen, wenn der Punkt (..,..,+4) ist.
Gruss leduart

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Richtungsableitung?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:19 Fr 11.06.2010
Autor: rml_

nein der punkt ist P(8; 6 ; -4)
und wenn ich den in das skalarpdodukt einsetze mitsamt t=2 erhalte ich: 228.

und das ist wie du gerade gesagt hast die änderung pro meter. zumindest hätte ich das errechnen sollen.

in teil b der aufgabe soll ich jetzt die änderung pro sekunder errechnen, was muss ich dann hier tun?'ist das nich analog i.wie?

keiner der mir das erklären kann?:/

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Richtungsableitung?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 So 13.06.2010
Autor: matux

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