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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 02.05.2017 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{1}{e^x dx} [/mm] mit Hilfe von Riemannschen Summen . Benutzen Sie gleichlange Teilintervalle. |
Zuerst mein Lösungsweg:
Sei [mm] \gamma={x_0,...,x_n}
[/mm]
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] x_n=1
[/mm]
[mm] x_i=\bruch{i}{n}
[/mm]
Riemannsummen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}e^{\bruch{i}{n}}\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}e^{i}e^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}\summe_{i=1}^{n}e^{i}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}} \bruch{1-e^{n+1}}{1-e}-1 [/mm] //Ich habe hier die Formel [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] benutzt und [mm] e^0 [/mm] abgezogen, weil meine Summe bei 1 startet.
[mm] \bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}-\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Nun muss Ich den Grenzwert bilden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}=0
[/mm]
der hintere Teil geht gegen 0, also bleibt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}
[/mm]
Und hier sehe Ich nicht wirklich womit Ich anfangen soll, so gut wie jeder Terme enthält n. Ich könnte es so aufsplittern: [mm] \bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}- \bruch{e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}=\bruch{\wurzel[n]{e}}{n(1-e)} [/mm] musste 0 Sein wenn Ich mich nicht irre (wurzel geht gegen 1, Nenner geht gegen unendlich), aber der zweite Term sieht mir etwas merkwürdig aus. Habe Ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich würde mich über Tips freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Di 02.05.2017 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{0}^{1}{e^x dx}[/mm] mit Hilfe von
> Riemannschen Summen . Benutzen Sie gleichlange
> Teilintervalle.
> Zuerst mein Lösungsweg:
> Sei [mm]\gamma={x_0,...,x_n}[/mm]
> [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]x_n=1[/mm]
> [mm]x_i=\bruch{i}{n}[/mm]
>
> Riemannsummen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}e^{\bruch{i}{n}}\bruch{1}{n}[/mm]
> [mm]=\summe_{i=1}^{n}e^{i}e^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier hast du anscheinend benutzt, dass $e^{\frac{i}{n}}=e^{i}\cdot e^{\frac{1}{n}}$. Das ist aber nicht richtig, denn $e^{i}\cdot e^{\frac{1}{n}}=e^{i+\frac{1}{n}$. Vielmehr gilt
$e^{\frac{i}{n}}=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i$
> [mm]=\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}\summe_{i=1}^{n}e^{i}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}} \bruch{1-e^{n+1}}{1-e}-1[/mm]
> //Ich habe hier die Formel
> [mm]\summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] benutzt und [mm]e^0[/mm]
> abgezogen, weil meine Summe bei 1 startet.
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}-\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> Nun muss Ich den Grenzwert bilden:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}e^{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
> der hintere Teil geht gegen 0, also bleibt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}-e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}[/mm]
> Und hier sehe Ich nicht wirklich womit Ich anfangen soll,
> so gut wie jeder Terme enthält n. Ich könnte es so
> aufsplittern: [mm]\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}- \bruch{e^{n+1+\bruch{1}{n}}}{n-en}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{e}}{n-en}=\bruch{\wurzel[n]{e}}{n(1-e)}[/mm]
> musste 0 Sein wenn Ich mich nicht irre (wurzel geht gegen
> 1, Nenner geht gegen unendlich), aber der zweite Term sieht
> mir etwas merkwürdig aus. Habe Ich irgendwo einen Fehler
> gemacht? Ich würde mich über Tips freuen.
Gruss,
Chris
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Wenn du die Korrektur von Chris84 berücksichtigst, wirst du auf einen Nenner der Form [mm] n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] stoßen.
Nenne ihn [mm] t_n [/mm] und forme die Gleichung [mm] t_n [/mm] = [mm] n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] so lange um, bis da steht: e = ...
Damit kannst du herausfinden, dass [mm] t_n [/mm] gegen 1 konvergieren muss.
Damit kannst du dann auf das Ergebnis e - 1 schließen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 02.05.2017 | | Autor: | X3nion |
> Wenn du die Korrektur von Chris84 berücksichtigst, wirst
> du auf einen Nenner der Form [mm]n*(e^{\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
> stoßen.
>
> Nenne ihn [mm]t_n[/mm] und forme die Gleichung [mm]t_n[/mm] =
> [mm]n*(e^{\bruch{1}{n}}-1)[/mm] so lange um, bis da steht: e = ...
>
> Damit kannst du herausfinden, dass [mm]t_n[/mm] gegen 1 konvergieren
> muss.
>
> Damit kannst du dann auf das Ergebnis e - 1 schließen.
So ein Term geht auch mit l'Hopital!
Sei t(x) := x * [mm] (e^{\frac{1}{x}}-1) [/mm] = [mm] \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}} [/mm] und x [mm] \in \IR
[/mm]
Setze nun t(x) := [mm] \frac{a(x)}{b(x)} [/mm] mit a(x) := [mm] e^{\frac{1}{x}}-1 [/mm] und b(x) := [mm] {\frac{1}{x}}.
[/mm]
Zu berechnen ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] t(x)
Es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] a(x) = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] b(x) = 0
Wende nun L'Hopital für "0/0" an.
=> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{\frac{1}{x}} [/mm] = 1
Dann ist aber auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(e^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] = 1
Gruß X3nion
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> So ein Term geht auch mit l'Hopital!
Klar, aber ich hatte den Eindruck, dass der Kandidat noch nicht sehr vertraut ist mit den diversen Möglichkeiten. Kann natürlich sein, dass er L'Hopital kennt und die "Potenzdarstellung" von [mm] e^x [/mm] nicht...
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