Ringe, Primzahlen, ggT < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Für m [mm] \in \IN [/mm] ohne der 1 gilt:
(Rm, +, *) ist genau dann Körper, wenn m eine Primzahl ist. |
Ich habe mich an der Aufgabe versucht und habe folgendes dazu aufgeschrieben:
1. Definition eines Körpers:
(R,+, *) ist Ring, 2. (R,* ohne der 0) ist kommutative Gruppe
Ich setze weiter voraus, dass (R,+) kommutative Gruppe ist, wenn m Primzahl ist.
Es geht mir also "nur" um den zweiten Teil.
(Wurde in der Übung eben genau so gehandhabt, von der habe ich mich auf den Teil beschränkt, hatte damit zudem schon meine Probleme, das richtig in Worte zu fassen)
Beweis:
(R,*)
In (R*) ist das Einselement das neutrale Element.
Da in einer Gruppe jedes Element invertierbar ist, muss auch hier für Rm gelten:
Für alle a [mm] \in [/mm] R: a * a^-1 = 1 (in Rm)
Dies ist allerdings nur möglich (nach Satz "Lösbarkeitsbedingung von Restklassengleichungen), wenn der ggT (a,m) ein Teiler ist von 1, was wiederum nur dann gegeben ist, wenn ggT (a,m) =1 ist.
Da m nur zwei Teiler hat, wenn m Primzahl ist, nämlich 1 und sich selbst, ist Rm Gruppe (neutrales Element ist das Einselement, R* ist algebraische Struktur (wurde schon bewiesen und jedes Element ist invertierbar).
Ja, die Kommutativität hab ich einfach mal weggelassen -.- und hab dann gesagt, dass ich fertig bin mit dem Beweis -.-
irgendwie so?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
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Hallo Studi1988,
mit ein bisschen Suchen im Forum findet sich zb. dies
Hilft das?
Gruß
schachuzipus
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