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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Singulärwertzerlegung
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Singulärwertzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Sa 11.06.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung von

[mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1} \in \IR^{3x2} [/mm]


Ist das bisher so richtig?

[mm] A^{T}*A= \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }* \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1}=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }=:B [/mm]

Bestimmung der Eigenwerte:

[mm] p(t)=\pmat{ 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda }= \lambda^{2}-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2). [/mm]  

=>EW sind also: [mm] \lambda_{1}=4 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm]

Bestimmung der Eigenvektoren:

[mm] (A-\lambda_{i}*E)*x_{i}=0 \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2}

Einsetzen ergibt [mm] \overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ \lambda \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -\lambda \\ \lambda} [/mm]

Also die Singulärwerte sind:

[mm] G_{1}=\wurzel{4} \wedge G_{2}=\wurzel{2} [/mm]

Nun Bestimme ich das ONS:

[mm] \overrightarrow{w}_{1}=1/G_{1}*A* \overrightarrow{v}_{1} \wedge \overrightarrow{w}_{2}=1/G_{2}*A* \overrightarrow{v}_{2}. [/mm]

Einsetzen ergiebt:

[mm] \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0} [/mm]

Ergänzen zu ONB mittels Gramm-Schmidt:

Sei [mm] u_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} [/mm] und [mm] u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}. [/mm] Wähle ein linear unabhängigen Vektor [mm] v_{3} e_{2}, [/mm] sodass gilt:

[mm] u_{3}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}>*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}>*\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\wurzel{2}\lambda*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\vektor{0 \\ 2*\lambda^{2} \\ 0}=\vektor{0 \\ -2\lambda^{2}+1 \\ 0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{u_3}=\bruch{1}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}}\vektor{0 \\ 2\lambda^{2}+1 \\ 0}=\vektor{0 \\ \bruch{(-2\lambda+1)}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}} \\ 0} [/mm]

Weiter weiß ich leider nicht! Vielleicht kann mir das jemand von euch erklären?!

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Singulärwertzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 So 12.06.2016
Autor: hippias


> Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung von
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1} \in \IR^{3x2}[/mm]
>  
> Ist das bisher so richtig?
>  
> [mm]A^{T}*A= \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }* \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1}=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }=:B[/mm]
>  
> Bestimmung der Eigenwerte:
>
> [mm]p(t)=\pmat{ 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda }= \lambda^{2}-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2).[/mm]
>  
>
> =>EW sind also: [mm]\lambda_{1}=4[/mm] und [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
>  
> Bestimmung der Eigenvektoren:
>  
> [mm](A-\lambda_{i}*E)*x_{i}=0 \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2}
>  
> Einsetzen ergibt [mm]\overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ \lambda \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -\lambda \\ \lambda}[/mm]
>  

Gibt es einen guten Grund, weshalb Du die EV so schreibst? Weshalb nicht [mm] $\overrightarrow{v}_{1}=\vektor{ 1 \\ 1}$ [/mm] und $  [mm] \overrightarrow{v}_{2}=\vektor{ -1 \\ 1}$? [/mm]

> Also die Singulärwerte sind:
>  
> [mm]G_{1}=\wurzel{4} \wedge G_{2}=\wurzel{2}[/mm]
>  
> Nun Bestimme ich das ONS:
>  
> [mm]\overrightarrow{w}_{1}=1/G_{1}*A* \overrightarrow{v}_{1} \wedge \overrightarrow{w}_{2}=1/G_{2}*A* \overrightarrow{v}_{2}.[/mm]
>
> Einsetzen ergiebt:
>
> [mm]\overrightarrow{w}_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda} \wedge \overrightarrow{w}_{1}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}[/mm]
>  
> Ergänzen zu ONB mittels Gramm-Schmidt:
>  
> Sei [mm]u_{1}=\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}[/mm] und
> [mm]u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}.[/mm] Wähle ein
> linear unabhängigen Vektor [mm]v_{3} e_{2},[/mm] sodass gilt:
>  
> [mm]u_{3}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}>*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}-<\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}>*\vektor{\lambda \\ 0 \\ \lambda}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\wurzel{2}\lambda*\vektor{0 \\ \wurzel{2}\lambda \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-\vektor{0 \\ 2*\lambda^{2} \\ 0}=\vektor{0 \\ -2\lambda^{2}+1 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{u_3}=\bruch{1}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}}\vektor{0 \\ 2\lambda^{2}+1 \\ 0}=\vektor{0 \\ \bruch{(-2\lambda+1)}{\wurzel{(-2\lambda+1)^{2}}} \\ 0}[/mm]
>  

Seien [mm] $u_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] und
[mm] $u_{2}=\vektor{0 \\ \wurzel{2}\\ 0}$. [/mm] Offensichtlich ist [mm] $u_{3}= \vektor{1\\0\\-1}$ [/mm] orthogonal zu [mm] $u_{1}$ [/mm] und [mm] $u_{2}$. [/mm] Nun kannst Du noch normieren, wenn Du willst.

> Weiter weiß ich leider nicht! Vielleicht kann mir das
> jemand von euch erklären?!
>  
> LG DerPinguinagent


Bezug
        
Bezug
Singulärwertzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 So 12.06.2016
Autor: DerPinguinagent

Für die Matrix U habe ich [mm] U=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \wurzel{2} & -1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] und für [mm] S=\pmat{ \wurzel{4} & 0 \\ 0 & \wurzel{2} \\ 0 & 0 } [/mm] raus. Wie bekomme ich die Matrix V raus, damit [mm] A=USV^{T} [/mm] gilt.

Vielen Dank im Voraus!

LG DerPinguinagent

PS: Bei den Eigenvektoren habe ich für [mm] \lambda=1 [/mm] eingesetzt

Bezug
                
Bezug
Singulärwertzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 14.06.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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