Stammfkt komplexer Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es sei f: [mm] \Delta_{r} \to \IC [/mm] durch eine konvergente Potenzreihe [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm] mit Konvergenzradius r gegeben.
a) Zeigen Sie:
[mm] F(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{n+1}z^{n+1} [/mm] hat denselben Konvergenzradius wie f und definiert eine Stammfunktion zu f, d.h. es gilt F´=f. |
| Aufgabe 2 | b) Zeigen Sie:
genau dann definiert (d.h. konvergiert kompakt in [mm] \Delta_{r})[/mm] [mm] \tilde F(z) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(\bruch{z^{n+1}}{n+1} +b_{n}) [/mm] eine Stammfunktion von f, wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n} [/mm] konvergiert. |
| Aufgabe 3 | | c) Zu welchen Folgen [mm] a_{n} [/mm] kann man eine Folge [mm] b_{n} [/mm] finden, so dass [mm] \tilde F [/mm] nicht in [mm] \Delta_{r} [/mm] konvergiert. |
[mm] \Delta_{r}:=\Delta_{r}(0)=\{z \in \IC | |z|
Hallo zusammen,
ich bin bei obigen Aufgaben etwas überfragt.
Zu a)
Die Aufgabe ist ähnlich zu http://matheforum.net/read?t=792405
Müsste ich nach Cauchy-Hadamard zeigen:?
$ lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}= [/mm] lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{n+1}|a_n|} [/mm] $
Würde das wieder reichen oder hat jemand einen Tipp für die Abschätzung?
[mm] F´(z)=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\bruch{a_{n}}{n+1}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}
[/mm]
Also definiert F(z) eine Stammfunktion zu f?
Zu b)
Hier bin ich leider ziemlich überfragt. Klar ist, zwei Richtungen sind zu zeigen.
Wenn ich [mm] \tilde F(z) [/mm] ableite, so komme ich dann nach f(z), nur ich fürchte, das reicht mir nicht für einen Beweis?
Zu c)
Hier habe ich keinen Ansatzpunkt :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 13.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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