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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert:
a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)} [/mm] |
Also es geht um die Teleskopreihe. Das ist doch eine Reihe bei der bis auf das erste und das letzte Glied alle anderen rausfallen.
1.Frage: Woran erkenne ich eine Teleskopreihe? Bei welchem Typ von Reihe muss ich sie anwenden?
Die Gleichung ist noch nicht in der richtigen Form ich muss sie noch umformen:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm]
=[mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n})+\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm]
Die hintere Summe forme ich jetzt um:
Frage 2: Warum betrachte ich nur die hintere Summe? Was passiert mit der vorderen?
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]
=[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1+n-n}{n(n+1)} [/mm]
Ich habe mit n erweitert.
=[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Frage 3: Muss ich die meine Reihe immer auf diese Form bringen? Hab ich dann erst eine Teleskopreihe?
Von dieser reihe bilde ich den Grenzwert:
[mm] \limes_{n \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Frage 4: Muss ich das Summenzeichen mit in den Limes ziehen?
[mm] \limes_{n \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}=1[/mm]
Frage 5: Was sagt mir dieses Ergebnis? Ist der Grenzwert meiner Funktion 1. Ist er das aber nicht immer bei einer Teleskopreihe, wenn ich sie auf folgende Form bringen muss? [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Und was ist eigentlich mit meiner anderen Summe passiert? [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n})[/mm]
Und zum Schluss noch ne ganz allgemeine Frage:
Ist die Teleskopreihe einfach eine bekannte Reihe(wie auch die Taylorreihe) auf die ich zurückgreif bzw. in deren Form ich meine Reihe bringe, um die Konvergenz und den Grenzwert zu bestimmen? Weil ich eben das Konvergenzverhalten und den Grenzwert der Teleskopreihe kenne.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Fr 07.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Fast alle deine Fragen sollten eigentlich durch den, von
Marcel geschriebenen, Artikel hier beantwortet werden.
> Untersuchen Sie folgende reihe auf Konvergenz und bestimmen
> Sie den Grenzwert:
>
> a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
Hier fehlt die Klammer hinten!
> Also es geht um die Teleskopreihe. Das ist doch eine Reihe
> bei der bis auf das erste und das letzte Glied alle anderen
> rausfallen.
Genau, siehe Artikel von Marcel.
> 1.Frage: Woran erkenne ich eine Teleskopreihe? Bei welchem
> Typ von Reihe muss ich sie anwenden?
Ein bisschen Erfahrung spielt hier natürlich eine Rolle,
aber du kannst dir mal die Summanden aufschreiben, dann
solltest du erkennen wo die Magie passiert. 
> Die Gleichung ist noch nicht in der richtigen Form ich muss
> sie noch umformen:
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)})[/mm]
>
> =[mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n})+\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n(n+1)})[/mm]
Ja.
> Die hintere Summe forme ich jetzt um:
>
> Frage 2: Warum betrachte ich nur die hintere Summe? Was
> passiert mit der vorderen?
Den Wert der ersten Reihe kennst du doch bereits, denn es gilt:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3})^n=-1+\sum_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{3})^n=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
[/mm]
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
> =[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1+n-n}{n(n+1)}[/mm]
>
> Ich habe mit n erweitert.
> =[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Ja, im Grunde ist das eine Partialbruchzerlegung.
> Frage 3: Muss ich die meine Reihe immer auf diese Form
> bringen? Hab ich dann erst eine Teleskopreihe?
Dafür gibt es leider kein Kochrezept. In der Regel sind
Teleskopsummen ein wenig versteckt, sodass du sie erst durch
Anwendung einer Partialbruchzerlegung oder Ähnlichen erkennst.
> Von dieser reihe bilde ich den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Diese Schreibweise ist falsch, denn eigentlich betrachtest
du hier den Grenzwert der Partialsummenfolge! Guck dir das
am Besten auch nochmal bei dem Artikel an.
> Frage 4: Muss ich das Summenzeichen mit in den Limes
> ziehen?
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}=1[/mm]
Nein. Allgemein kannst du es dir im Artikel angucken. Hier
passiert doch eigentlich nichts anderes als das hier:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}=\limes_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N})+(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})=\limes_{N\to\infty}1-\frac{1}{N+1}=1
[/mm]
Ich hoffe, dass du erkennst, dass sich die Summen kürzen!
> Frage 5: Was sagt mir dieses Ergebnis? Ist der Grenzwert
> meiner Funktion 1. Ist er das aber nicht immer bei einer
> Teleskopreihe, wenn ich sie auf folgende Form bringen muss?
Nein. Zunächst erhältst du auch nur für deine zweite Reihe
den Grenzwert. Als Gegenbeispiel deiner Behauptung kannst
du dir das zweite Beispiel vom Artikel angucken.
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}[/mm]
> Und was
> ist eigentlich mit meiner anderen Summe passiert?
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{3^n})[/mm]
Hier musst du nur noch die Grenzwerte miteinander addieren.
[mm] \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}
[/mm]
> Und zum Schluss noch ne ganz allgemeine Frage:
> Ist die Teleskopreihe einfach eine bekannte Reihe(wie auch
> die Taylorreihe) auf die ich zurückgreif bzw. in deren
> Form ich meine Reihe bringe, um die Konvergenz und den
> Grenzwert zu bestimmen? Weil ich eben das
> Konvergenzverhalten und den Grenzwert der Teleskopreihe
> kenne.
Das ist hier ein bisschen schwammig formuliert. Die Tele-
skopsumme ist ein Handwerkszeug von einem Mathematiker,
genauso wie es die geometrische Reihe ist. Zur Sicherheit:
Die erste Reihe ist eine geometrische Reihe, daher habe ich
das oben so ausgerechnet.
Gruß
DieAcht
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Hallo bavarian,
zu Deiner Aufgabe ist im Prinzip alles gesagt.
Wenn Dir das so noch nicht reicht, dann stell Rückfragen als Reaktion auf die andere Antwort von DieAcht.
Nur mal so zum üben:
Bestimme [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\left(1+\br{2}{k}+\br{1}{k^2}\right)\right)
[/mm]
Wie Du Dir wahrscheinlich schon denkst, geht es hier um ein Teleskopprodukt.
Versuchs mal. Ich habs nur so verkleidet, dass man es nicht sofort findet.
Grüße
reverend
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sorr ydass ich solang gebraucht hab...
$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\left(1+\br{2}{k}+\br{1}{k^2}\right)\right) $
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{k^2+2k+1}{k^2} $
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} $
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)}{k} $
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k $
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}a_{n+1}-a_1 $
Ich weiß nicht ob dieser Schritt richtig ist?
=$ \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}*(\bruch{1}{n+1}-1 $
Auch bin ich mir wegen der1 am Ende nicht sicher. Ist a_1=1? was ist a_1?
Jetzt hab ich 1/n^2 einfach mitreingerechnet.
=$ \lim_{n\to\infty}(\bruch{1}{n^3+n^2}-\bruch{1}{n^2} $
Das habe ich auf den Hauptnenner gebracht:
=$ \lim_{n\to\infty}(\bruch{n^2-(n^3+n^2)}{(n^3+n^2)-n^2} $
=1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 09.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo bavarian!
> > ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Die wirst Du doch nicht etwa "gekürzt" haben??
> >
> Ich habe einfach oben und unten die Wurzel gezogen.
> Geht nicht?
Nein, damit veränderst Du doch den Wert des Termes.
> Das habe ich so aus dem Artikel von Marcel:
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)[/mm]
In dem Artikel geht es um Teleskopsummen, hier liegt ein Teleskopprodukt vor.
> > Schreibe Dir von dem Produkt [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2}[/mm] mal einige Faktoren
> > hin und vergleiche.
>
> [mm]P_1=\bruch{(1+1)^2}{1^2}=4[/mm]
> [mm]P_2=\bruch{(2+1)^2}{2^2}=9/4[/mm]
> [mm]P_3=\bruch{(3+1)^2}{3^2}=16/9[/mm]
> [mm]P_4=\bruch{(4+1)^2}{4^2}=25/16[/mm]
> ...
>
> Also näheren sich die Faktoren immer mehr der 1 an?
Das ist Voraussetzung, damit dieses Produkt überhaupt konvergieren kann.
Du solltest aufschreiben:
[mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ \bruch{\blue{2^2}}{1^2}*\bruch{\green{3^2}}{\blue{2^2}}*\bruch{4^2}{\green{3^2}}*...*\bruch{\red{n^2}}{(n-1)^2}*\bruch{(n+1)^2}{\red{n^2}}[/mm]
Was fällt auf?
Gruß
Loddar
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> Hallo bavarian!
>
>
> > > Die wirst Du doch nicht etwa "gekürzt" haben??
> > >
> > Ich habe einfach oben und unten die Wurzel gezogen.
> > Geht nicht?
>
> Nein, damit veränderst Du doch den Wert des Termes.
>
>
>
> > Das habe ich so aus dem Artikel von Marcel:
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)[/mm]
>
> In dem Artikel geht es um Teleskopsummen, hier liegt ein
> Teleskopprodukt vor.
>
>
> > > Schreibe Dir von dem Produkt
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2}[/mm] mal einige Faktoren
> > > hin und vergleiche.
> >
> > [mm]P_1=\bruch{(1+1)^2}{1^2}=4[/mm]
> > [mm]P_2=\bruch{(2+1)^2}{2^2}=9/4[/mm]
> > [mm]P_3=\bruch{(3+1)^2}{3^2}=16/9[/mm]
> > [mm]P_4=\bruch{(4+1)^2}{4^2}=25/16[/mm]
> > ...
> >
> > Also näheren sich die Faktoren immer mehr der 1 an?
>
> Das ist Voraussetzung, damit dieses Produkt überhaupt
> konvergieren kann.
>
> Du solltest aufschreiben:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ \bruch{\blue{2^2}}{1^2}*\bruch{\green{3^2}}{\blue{2^2}}*\bruch{4^2}{\green{3^2}}*...*\bruch{\red{n^2}}{(n-1)^2}*\bruch{(n+1)^2}{\red{n^2}}[/mm]
>
> Was fällt auf?
Es hebt sich fast alles gegenseitig auf. Bis auf die 1 und [mm] (n+1)^2.
[/mm]
Also strebt die Summe gegen [mm] (n+1)^2?
[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 09.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo bavarian!
> > Was fällt auf?
> Es hebt sich fast alles gegenseitig auf. Bis auf die 1 und [mm](n+1)^2.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also strebt die Summe gegen [mm](n+1)^2?[/mm]
Einfacher!
Es gilt folgende Gleichheit / Identität: [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ (n+1)^2[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo bavarian!
>
>
> > > Was fällt auf?
> > Es hebt sich fast alles gegenseitig auf. Bis auf die 1
> und [mm](n+1)^2.[/mm]
>
>
>
>
> > Also strebt die Summe gegen [mm](n+1)^2?[/mm]
>
> Einfacher!
>
> Es gilt folgende Gleichheit /
> Identität: [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ (n+1)^2[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
Und was sagt mir dass jetzt. Sorry wenn ich so dumm frage aber ich versteh den Hintergrund nicht so ganz.
Muss ich jetzt den lim [mm] \bruch{(n+1)^2} [/mm] berechnen?
Und was ist der Unterschied zw. einer Teleskopsumme und einem Teleskopprodukt? Mir ist klar dass eins davon ne Summe ist und das andere ein Produkt. Aber wie unterscheiden sie sich in folgendem:
[mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ (n+1)^2[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} ?? [/mm]
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Hallo bavarian,
> > > > Was fällt auf?
> > > Es hebt sich fast alles gegenseitig auf. Bis auf die
> 1
> > und [mm](n+1)^2.[/mm]
Und das ist eigentlich schon die ganze Erklärung.
Bei Teleskopsummen oder -produkten geht es darum, dass sich "fast alles gegenseitig aufhebt" - meistens bis auf das erste und letzte Glied.
> > Einfacher!
> >
> > Es gilt folgende Gleichheit /
> > Identität: [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ (n+1)^2[/mm]
>
> Und was sagt mir dass jetzt. Sorry wenn ich so dumm frage
> aber ich versteh den Hintergrund nicht so ganz.
Siehe oben.
> Muss ich jetzt den lim [mm]\bruch{(n+1)^2}[/mm] berechnen?
Na, so wie meine Aufgabe gestellt war, hättest Du jetzt noch [mm] \lim_{n\to\infty}\br{(n+1)^2}{n^2} [/mm] zu bestimmen. Aber das ist jetzt eigentlich egal; es ging um das Produkt.
> Und was ist der Unterschied zw. einer Teleskopsumme und
> einem Teleskopprodukt? Mir ist klar dass eins davon ne
> Summe ist und das andere ein Produkt. Aber wie
> unterscheiden sie sich in folgendem:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2} \ = \ (n+1)^2[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} ??[/mm]
Ich glaube, hierzu ist wirklich alles gesagt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 09.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo bavarian,
> > Hallo bavarian16!
> >
> >
> > >
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\left(1+\br{2}{k}+\br{1}{k^2}\right)\right)[/mm]
> > > =[mm] \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{k^2+2k+1}{k^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > =[mm] \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2}[/mm]
>
> >
> > ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Bis hierher sehr gut (von der fehlenden
> > schließenden Klammer mal abgesehen).
> >
> >
> > > =[mm] \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)}{k}[/mm]
>
> >
> > Aber wie lässt Du hier einfach mal ebenso die Quadrate
> > verschwinden?? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
> >
> > Die wirst Du doch nicht etwa "gekürzt" haben??
> >
> >
> Ich habe einfach oben und unten die Wurzel gezogen. Geht
> nicht?
> > > =[mm] \lim_{n\to\infty}\left(\br{1}{n^2}\produkt_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_k[/mm]
>
> >
> > Und was Du hier machst und plötzlich aus einem Bruch eine
> > (undefinierte) Differenz wird ... mehr als schleierhaft.
> > ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> >
> Das habe ich so aus dem Artikel von Marcel:
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)[/mm]
>
> Vielleicht hätte ich erst die lim bilden sollen
>
> Aber ich hab ja auch geschrieben dass ich mir überhaupt
> nicht sicher bin. Mit dem Artikel kann ich nicht allzu viel
> anfangen.
das nehme ich Dir übrigens gar nicht übel. Die Artikel dort haben den
Hintergrund, dass man versucht, Wesentliches festzuhalten, und normalerweise
werden sie erweitert, wenn man merkt, dass man sie gut öfters gebrauchen
kann, um jemanden etwas klarzumachen.
Meine Bitte an Dich, das ist auch nur eine Bitte und gar nicht verpflichtend,
wäre es, einfach mal anzumerken, an welcher Stelle im Artikel etwas unklar
ist. Und wenn Du merkst, dass manches auch zu schnell ist oder es schöner
wäre, wenn da noch ein paar Beispiele ergänzt werden könnten, einfach
darauf hinweisen.
Der Artikel, so, wie er jetzt da steht, kann aber durchaus zur Orientierung
dienen. Ich will aber nicht sagen, dass er eigentlich sofort für jeden auch
verstanden werden müsste. Natürlich werden das viele "alte Hasen" sagen,
dass sie vielleicht gar nicht verstehen, was denn daran unklar sein sollte -
aber da i.a. viele Menschen an ganz verschiedenen Stellen Verständnisprobleme
haben, kann man gar nicht sagen, dass man einen Artikel verfasst hat, der
doch von allen verstanden werden muss.
Von daher: Einfach (konstruktive) Kritik üben. Vielleicht merkst Du sogar
währenddessen, dass sich die ein oder andere Stelle doch von selbst
klärt, weil Dir währenddessen die Dinge klar(er) werden. Auch das ist kein
seltener Effekt.
Wie heißt es doch:
„Klug ist nicht, wer keine Fehler macht. Klug ist der, der es versteht, sie zu
korrigieren.“
Und dazu gehört es auch, seine Fehler zu finden. Und bei manchen Menschen
müsste man auch sagen: Es gehört auch dazu, dazu zu stehen, dass man
sie eben gemacht hat.
> > Schreibe Dir von dem Produkt
> > [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{(k+1)^2}{k^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mal einige Faktoren
> > hin und vergleiche.
Nur mal nebenbei:
Wenn Du
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}\produkt_{k=1}^n \frac{(k+1)^2}{k^2}$
siehst, und nehmen wir mal an, Du willst unbedingt mit Teleskopsummen
arbeiten, so kannst Du Dir auch behelfen:
Setze
$a_n:=\frac{1}{n^2}\produkt_{k=1}^n \frac{(k+1)^2}{k^2}$
und
$b_n:=\ln(a_n).$
(Hier sollte man sich natürlich klarmachen, dass alle $a_n$ auch $> 0\,$ sind!)
Dann gilt
$b_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} b$ $\iff$ $a_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} e^b.$
Nehmen wir uns $b_n$ mal unter die Lupe:
$b_n=\ln(a_n)$
$\Longrightarrow$ $b_n=\ln(1/n^2)+\ln(\produkt_{k=1}^n (k+1)^2/k^2)$
$\iff$ $b_n=\ln(1)-\ln(n^2)+\sum_{k=1}^n \ln(\;(k+1)^2/k^2\;)$
$\iff$ $b_n=-2\ln(n)+\sum_{k=1}^n \left\{\ln((k+1)^2)\;-\;\ln(k^2)\right\}$
Das schöne ist nämlich:
Während Du bei den $a_n$ ja "Teleskopprodukt" erkennen solltest, siehst
Du nun bei den $b_n$ den Dir schon bekannte Begriff "Teleskopsumme".
Generell könnte man das auch allgemeiner schreiben, denn wenn wir, grob,
eine Verknüpfung $\circ$ hätten und sowas wie $a^{-1} \circ a=a\circ a^{-1}=e$ und $e \circ a=a$
sowie $a \circ e=a\,,$ dann kann man ja mit Assoziativität und so weiter sowas wie
$\bigcirc\limits_{k=1}^n a_k= a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n$
definieren und erkennt dann "Teleskopverknüpfungen" an der Darstellung
$\bigcirc\limites_{k=1}^n (\red{a_{k+1} \circ {a_k}^{-1}}).$
(Das kann man natürlich schöner ausformulieren mit - ich denke, man braucht
vielleicht auch die Kommutativität - (kommutativen) Gruppen.)
Warum?
Naja:
$\bigcirc_{k=1}^n (a_{k+1} \circ {a_k}^{-1})=(a_2 \circ {a_1}^{-1})\circ (a_3 \circ {a_2}^{-1}) \circ ... \circ (a_n \circ {a_{n-1}}^{-1}) \circ (a_{n+1} \circ {a_n}^{-1})\,.$
Gucken und umsortieren (deswegen die Kommutativität; aber auch Ass. benötigt
man hier) liefert
$\bigcirc_{k=1}^n (a_{k+1} \circ {a_k}^{-1})=a_{n+1} \circ (a_1)^{-1}.$
Und bei Dir ist halt bei der Teleskopsumme:
$\circ=+$ und $a^{-1}=-a$ und $e=0\,.$
Und bei dem Teleskopprodukt:
$\circ=\cdot$ und $a^{-1}=1/a$ und $e=1\,.$
Also im Endeffekt: Es gibt andere Rollenbezeichnungen, aber das Stück,
was gespielt wird, ist immer der gleiche.
Zudem kann man sich grob merken:
Um anstatt eines Produkts eine Summe zu analysieren: Gucken, ob der
$\ln$ einem hilft.
Andersrum: Will man anstatt einer Summe lieber ein Produkt analysieren:
Vielleicht hilft ja die Exponentialfunktion.
Also übertrieben dargestellt:
Teleskopsummen haben Form: $\blue{\sum\limits_{\black{k=1}}^{\black{n}}} (a_{k+1} \;\blue{+}\;a_k^{\text{inv(+)}}),$
wobei ich hier extra $a^\text{inv(+)}$ für das zu $a\,$ additiv inverse Element schreibe
(d.h. $a^\text{inv}=-a$), weil die Notation $a^{-1}$ ja schon meist für $1/a$ vergeben
ist.
Teleskopprodukte haben Form: $\green{\produkt\limits_{\black{k=1}}^{\black{n}} (a_{k+1} \;\green{\cdot}\;a_k^{\text{inv}(*)}),$
wobei hier $a^{\text{inv}(*)}=1/a,$ sofern $a \not=0,$ das multiplikativ Inverse zu $a\,$ bezeichne.
Gruß,
Marcel
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