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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo Forum,
ich habe mir einige Aufgaben zur Grenzwertberechnung angeschaut und kann einige Schritte (Gleichungen) nicht nachvollziehen. Wieso ist:
[mm] \bruch{n^{n+1}}{(1+n)^n}=\bruch{n^n*n}{(1+n)^n} [/mm] ?
und:
[mm] \bruch{n^{n+1}}{(1+n)^n}=(\bruch{n}{1+n})^n*n [/mm] ?
Wie wurde hier umgeformt? für kleine Tipps wäre ich sehr dankbar...
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Hallo lzaman!
Hier wurden schlicht und ergreifend folgende  Potenzgesetze angewandt:
[mm] $$a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m*a^n$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{a^n}{b^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a}{b}\right)^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, das n scheint mich durcheinander zu bringen. Wieso ist denn
[mm] \bruch{n^n\cdot(1+n^2)}{(1+n)^n\cdot(1+n)}=\bruch{(1+n^2)}{(1+n)}
[/mm]
ist hier etwa 1+n auch n? Anders kann ich mir es nicht vorstellen.
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> Danke, das n scheint mich durcheinander zu bringen. Wieso
> ist denn
>
> [mm]\bruch{n^n\cdot(1+n^2)}{(1+n)^n\cdot(1+n)}=\bruch{(1+n^2)}{(1+n)}[/mm]
Hallo,
diese Gleichheit gilt sicher nicht, was Du schon merkst, wenn Du für n z.b. die 2 einsetzt.
Stand da womöglich etwas anderes? Ein [mm] \lim_{n\to \infty} [/mm] davor?
Wie hieß denn die Aufgabe, und woher hast Du die Gleichheit?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^{n+1}}{(1+n)^n}-\bruch{n^n(1+n^2)}{(1+n)^{n+1}}) [/mm] |
So lautet die Aufgabe ursprünglich. (siehe Aufgabenbereich)
P.S. Wie kann ich denn große Klammern in Latex schreiben, also um den ganzen Bruch herum?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Do 15.07.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
> P.S. Wie kann ich denn große Klammern in Latex schreiben,
> also um den ganzen Bruch herum?
\left( \bruch{1}{2} \right)
ergibt
[mm] \left( \bruch{1}{2} \right)
[/mm]
Weitere Formatierungshilfen: https://vorhilfe.de/mm
Gruß Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^{n+1}}{(1+1)^n}-\bruch{n^n(1+n^2)}{(1+n)^{n+1}})[/mm]
[mm] $\bruch{n^{n+1}}{(1+1)^n}-\bruch{n^n(1+n^2)}{(1+n)^{n+1}}= (\bruch{n}{n+1})^n*n-(\bruch{n}{n+1})^n*\bruch{1+n^2}{1+n}= (\bruch{n}{n+1})^n*(n-\bruch{1+n^2}{1+n})= (\bruch{n}{n+1})^n*\bruch{n-1}{n+1}= (1-\bruch{1}{n+1})^n*\bruch{n-1}{n+1} \to [/mm] ??? $ für n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
>
>
> So lautet die Aufgabe ursprünglich. (siehe
> Aufgabenbereich)
>
> P.S. Wie kann ich denn große Klammern in Latex schreiben,
> also um den ganzen Bruch herum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke Fred, ich will euch gleich mal meine Lösung präsentieren: muss nur wissen, wie man jetzt auf diesen Teil der Gleichung:
[mm] \left(n-\bruch{(1+n^2)}{(1+n)} \right) [/mm] kommt?
eher gesagt: wie kommt der Bruch zustande?
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Hallo,
> Danke Fred, ich will euch gleich mal meine Lösung
> präsentieren: muss nur wissen, wie man jetzt auf diesen
> Teil der Gleichung:
>
> [mm]\left(n-\bruch{(1+n^2)}{(1+n)} \right)[/mm] kommt?
>
> eher gesagt: wie kommt der Bruch zustande?
Nun, wenn du genau hinschaust, steht vor der Klammer noch der Faktor [mm] $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Und genau den hat Fred in dem Schritt ausgeklammert ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Also Fred ist hingegangen und hat den Bruch:
[mm] \bruch{n^n(1+n^2)}{(1+n)^{n+1}} [/mm] in [mm] (\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{1+n^2}{1+n} [/mm] geschrieben.
Damit hat er mir sehr geholfen, nun konnte ich mir das alles herleiten.
Es ist nun:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{n-1}{n+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})})
[/mm]
Jetzt komme ich mit der Grenzwertbetrachtung auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot1=\bruch{1}{e}
[/mm]
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also Fred ist hingegangen und hat den Bruch:
>
> [mm]\bruch{n^n(1+n^2)}{(1+n)^{n+1}}[/mm] in
> [mm](\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{1+n^2}{1+n}[/mm] geschrieben.
>
> Damit hat er mir sehr geholfen, nun konnte ich mir das
> alles herleiten.
>
> Es ist nun:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{n-1}{n+1}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})})[/mm]
>
> Jetzt komme ich mit der Grenzwertbetrachtung auf
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot1=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Ist das richtig ?
Ganz sauber ist das nicht. Besser:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1})^n\cdot{}\bruch{n(1-\bruch{1}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})})= \bruch{1}{e}*1 = 1/e[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke
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