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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 03.12.2007 | | Autor: | PaulG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] (a_n) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n^2 + 1} + \wurzel{n}}{\wurzel[4]{n^3 + n} - n}
[/mm]
[mm] (b_n) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] , für x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] (c_n) [/mm] = [mm] \wurzel{n}(\wurzel[n]{n} [/mm] - 1)
[mm] (d_n) [/mm] = [mm] \bruch{n}{(2i)^{n}}
[/mm]
[mm] (e_n) [/mm] = cos(n) + isin(n)
[mm] (f_n) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(in)^{n}} [/mm] |
Hallo! :)
Ich bin mal wieder am verzweifeln, da mir entweder die Ansätze fehlen oder weil ich oft einfach nicht rechnen kann, wie zB bei [mm] (a_n). [/mm] Muss ich die Konvergenz zuerst durch irgendwelche Beweise zeigen oder reicht es mit dem [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] zu versuchen?
Also ich schreib mal auf, was ich schon habe:
zu [mm] (a_n) [/mm] : ich weiß, dass man hier den Ausdruck rational machen muss, um weiterzukommen. Nach langem Suchen, weiß ich nun, dass es durch das Erweitern geht, damit man im nennen so etwas wie (a-b)(a+b) = [mm] a^2-b^2 [/mm] bekommt und als Ergebnis [mm] n^3 [/mm] + n [mm] -n^4, [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe. Jedoch habe ich dann im Zähler einen riesengroßen Batzen von Wurzeln, mit denen ich wiederrum nichts anfangen kann.
Jemand hat mir einen Tipp gegeben, dass man das "n" einfach "auswurzeln" kann und dann kürzen, jedoch weiß ich nicht wie...besonders im Nenner.
kommt da [mm] \bruch{n(\wurzel{1+\bruch{1}{n}} + \wurzel{1})}{n(\wurzel[4]{1+\bruch{1}{n^2}} -n)} [/mm] raus?
zu [mm] (b_n) [/mm] : das kann ich umschreiben als [mm] x^{\bruch{1}{n}} [/mm] und hier ist die größte Zahl im Exponenten 1 und die kleinste läuft ggn. 0 also konvergiert der Ausdruck ggn. 1
zu [mm] (c_n) [/mm] : da habe ich leider keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
zu [mm] (d_n) [/mm] : hier weiß ich, dass i eine große Rolle spielt und man 4 Fallunterscheidungen machen muss für i, -1, -i und 1 aber wie mach ich da die Abschätzung?
zu [mm] (e_n) [/mm] : der Realteil ist divergent, der Imaginärteil ist divergent, daraus folgt, dass die Folge divergent ist. Stimmt das?
zu [mm] (f_n) [/mm] : mal wieder keine Ahnung. Ich würde sagen, dass man hier wieder mit 4 Fallunterscheidungen arbeiten muss, oder?
Ich hoffe, dass ist alles nicht viel zu viel auf einmal, ich bin hier recht neu und wenn es besser ist, die Aufgaben einzeln zu posten, dann mache ich das in Zukunft. :)
Ich freue mich sehr über Eure Hilfe, vor allem weil ich immer dabei sehr viel neues lerne.
Mit freundlichen Grüßen,
Paul
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> Untersuchen Sie die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
>
> [mm](a_n)[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{n^2 + 1} + \wurzel{n}}{\wurzel[4]{n^3 + n} - n}[/mm]
> Jemand hat mir einen Tipp gegeben, dass man das "n"
> einfach "auswurzeln" kann und dann kürzen, jedoch weiß ich
> nicht wie...besonders im Nenner.
Hallo,
ich zeige Dir mal, wir ich da "einwurzele":
Ich erweitere mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und erhalte
[mm] \bruch{\bruch{1}{n}(\wurzel{n^2 + 1} + \wurzel{n})}{\bruch{1}{n}(\wurzel[4]{n^3 + n} - n)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{\bruch{1}{n^2}(n^2 + 1)} + \wurzel{\bruch{1}{n^2}n}}{\wurzel[4]{\bruch{1}{n^4}(n^3 + n)} - \bruch{1}{n}n}
[/mm]
Nun kommst Du sicher weiter.
Gruß v. Angela
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Hallo PaulG!
Du kannst hier umformen zu [mm] $d_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2^n*i^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2^n}*\bruch{1}{i^n}$ [/mm] .
Den zweiten Term kann man nun abschätzen mit [mm] $\left|\bruch{1}{i^n}\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Damit kannst Du hier die Grenzwertsätze anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo PaulG!
Deine Überlegungen zu [mm] $\left< \ e_n \ \right>$ [/mm] sind richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo PaulG!
Gehe für [mm] $\left< \ f_n \ \right>$ [/mm] analog vor wie bei [mm] $\left< \ d_n \ \right>$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 11.12.2007 | | Autor: | PaulG |
Vielen Dank an euch alle für die Tipps und tut mir leid, dass ich mich so lange nicht gemeldet habe, bin im Krankenhaus gelandet(nichts schlimmes)... :P
MfG
Paul
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