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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Umformung eines Ausdrucks
Umformung eines Ausdrucks < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umformung eines Ausdrucks: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 So 12.05.2019
Autor: Juliane03

Guten Tag,
wir hatten am Freitag in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung die geometrische Verteilung und dazu speziell die Gedächtnislosigkeit bei dem Beweis wurde die folgende Umformung gemacht, die ich nicht verstehe:

$$
[mm] \mathbb{P}[T-n>k [/mm] | [mm] T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k, T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}=\frac{\mathbb{P}[T>n+k]}{\mathbb{P}[T>n]} [/mm]
$$




Es handelt sich hier ja um eine Bedingte Wahrscheinlichkeit, müsste es dann nicht lauten  
[mm] $$\mathbb{P}[T-n>k [/mm] | [mm] T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k \cap T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}$$? [/mm]
Und wie kommt man dann im Zähler auf nur noch $T>n+k$?

Gruß
Jule

        
Bezug
Umformung eines Ausdrucks: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 So 12.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es handelt sich hier ja um eine Bedingte
> Wahrscheinlichkeit, müsste es dann nicht lauten  
> [mm]\mathbb{P}[T-n>k | T>n]=\frac{\mathbb{P}[T>n+k \cap T>n]}{\mathbb{P}[T>n]}[/mm]?

tut es ja auch ;-)
Das ist schlichtweg Notationsgeschwurbel: Man schreibt für eine "und" Verknüpfung abkürzend einfach das "Komma".
Ich würde aber gern noch ein bisschen was dazu ausführen, denn:
Deine Notation ist nämlich eigentlich auch nicht korrekt, denn du schreibst:

> [mm] \mathbb{P}[T>n+k \cap [/mm] T>n]

Sowohl T>n+k als auch T>n sind aber Aussagen, d.h. dort gehört eine logische Verknüpfung rein, in dem Fall eigentlich ein [mm] $\wedge$ [/mm]
[mm] $\cap$ [/mm] kann man nur zwischen Mengen verwenden, d.h. es gilt (mal formal sauber aufgeschrieben):
[mm] $\{T > n+k \wedge T > n\} [/mm] = [mm] \{T > n+k\} \cap \{T > n\}$ [/mm] nun kommt aber die "unsaubere" Notation hinzu, dass man in W-Maßen oftmals die Mengenklammer weglässt, wenn nur eine Menge als Argument verwendet wird, wie bspw bei:

$P(T > n+k) = [mm] P(\{T > n+k\})$ [/mm]

Und wenn man das oben anwendet, ist eben:
[mm] $P(\{T > n+k \wedge T > n\}) [/mm] = P(T > n+k [mm] \wedge [/mm] T > n)$

Und wie oben erwähnt schreibt man halt selten mal wirklich ein [mm] "$\wedge$", [/mm] sondern verknüpft gleichzeitig auftretende Bedingungen mit einem Komma, wie auch bei anderen Mengen in der Analysis, z.B. wenn ich nur den ersten Quadranten im [mm] $\IR^2$ [/mm] beschreiben will, schreibe ich ja selten:

[mm] $\{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0 \wedge y \ge 0\}$ [/mm] sondern kürzer [mm] $\{(x,y) \in \IR^2 | x \ge 0, y \ge 0\}$ [/mm] oder wenn klar ist, wo x und y herkommen, dann noch kürzer [mm] $\{x \ge 0, y \ge 0\}$. [/mm] Diese "ganz kurz" Notation verwendet man ja auch oben, weil die ausführliche Notation von bspw [mm] $\{ T > n\}$ [/mm] ja eigentlich wäre [mm] $\{\omega \in \Omega | T(\omega) > n\}$ [/mm]

Auf obiges angewand heißt das, es gilt:

[mm] $P(\{T > n+k,T > n\}) [/mm] = [mm] P(\{T > n+k \wedge T > n\}) [/mm] = P(T > n+k [mm] \wedge [/mm] T > n) = P(T > n+k, T > n) = [mm] P(\{T>n+k\} \cap \wegde \{T>n\}) [/mm] = [mm] P(\{\omega \in \Omega | T(\omega) >n+k \wedge T(\omega) > n\}$ [/mm]

und alles sind valide Notationen für eigentlich den selben Ausdruck....

> Und wie kommt man dann im Zähler auf nur noch [mm]T>n+k[/mm]?

Die Bedingungen sind mit einem "und" verknüpft, d.h. wenn gilt $T > n+k$ und $T > n$, dann ist die Bedingung "$T > n$" redundant, weil wenn $T > n+k$ gilt, gilt $T>n$ trivialerweise. In Mengenschreibweise bedeutet das, dass gilt:

[mm] $\{T > n+k,T > n\} [/mm] = [mm] \{T > n+k\}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Umformung eines Ausdrucks: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 So 12.05.2019
Autor: Juliane03

Dankeschön

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