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Welche Kombin.-Formel wann?: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Do 21.08.2014
Autor: SchmeterSchmeter

Aufgabe
a) 6 Frauen, 4 Herren. Wie viele Paare?
b) Wie viele 3-ziffrige Zahlen aus 1,1,1,2,2,3
c) 10 Gäste, jeder kann jedem einmal die Hand schütteln, wie viele Hände werden insgesamt geschüttelt?


Hallo!

Es gibt ja die Permutation mit/ohne Widh., die Kombination mit/ohne Wdh. und die Variation mit/ohne Wdh.

Im Prinzip ist mir klar, wann ich welche Formel anwenden muss.

Permutation: Alle Elemente sind betroffen

Variation/Kombination: nur ein Teil der Elemente sind betroffen, wobei die Reihenfolge einmal egal und einmal wichtig ist.

Aber dann gibt es noch die Summen- und die Produktformel der Kombination. Verstehe ich richtig, dass man die immer dann nimmt, wenn man unterschiedliche Mengen hat? Und die oberen Formeln, wenn es um EINE Menge geht? Oder sind die in den oberen Formeln mit drin?

Z. B. habe ich die Aufgabe a) von oben erst so gelöst: wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 aus 10 Elementen auszuwählen. Aber klar, wenn mit Paaren "Frau + Mann" gemeint ist, dann sind es zwei verschiedene Mengen, deswegen Produktformel, oder?

und bei c) ist die Lösung 9+8+7+6+5+4+3+2+1 und nicht, wie ich dachte, 9!. Das verstehe ich nicht ganz. Muss ich hier jeden Gast als eine einelementige Menge sehen? Und wenn ich addieren muss, dann ist das ja die Summenformel, was bedeutet, dass die einzelnen Ereignisse unvereinbar sind. Das verstehe ich hier nicht ganz. Was bedeutet das hier?

und zu Aufgabe b) Hier kann ich mir zwar mit nem Baum helfen, alle Kombinationen aufzuschreiben, aber ich verstehe nicht, welcher Formel das entspricht. Es gibt 8 Nummern mit 1, 7 mit 2 und 4 mit 3 am Anfang. Wie rechne ich das ohne Baum?

Ich dachte erst, b) wäre eine Kombination mit Wiederholung.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Welche Kombin.-Formel wann?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Do 21.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> a) 6 Frauen, 4 Herren. Wie viele Paare?
> b) Wie viele 3-ziffrige Zahlen aus 1,1,1,2,2,3
> c) 10 Gäste, jeder kann jedem einmal die Hand schütteln,
> wie viele Hände werden insgesamt geschüttelt?
> Hallo!

>

> Es gibt ja die Permutation mit/ohne Widh., die Kombination
> mit/ohne Wdh. und die Variation mit/ohne Wdh.

>

> Im Prinzip ist mir klar, wann ich welche Formel anwenden
> muss.

>

> Permutation: Alle Elemente sind betroffen

>

> Variation/Kombination: nur ein Teil der Elemente sind
> betroffen, wobei die Reihenfolge einmal egal und einmal
> wichtig ist.

>

> Aber dann gibt es noch die Summen- und die Produktformel
> der Kombination. Verstehe ich richtig, dass man die immer
> dann nimmt, wenn man unterschiedliche Mengen hat? Und die
> oberen Formeln, wenn es um EINE Menge geht? Oder sind die
> in den oberen Formeln mit drin?

Das ist alles noch ziemlich wirr und du scheinst die Hoffnung zu haben, dass es ausreicht, jedes Problem in irgendeine Formel zu stopfen. Gerade in der Kombinatorik kommt man damit nicht weit: die Formeln stehen für gewisse elementare Anordnungen/Experimente und sie bilden die dahinter liegenden Prinzipien mathematisch ab. Sobald es komplizierter wird, gibt es oft keine Formel mehr aber man muss eben noch genauso das Prinzip eines Problems im Auge haben.

>

> Z. B. habe ich die Aufgabe a) von oben erst so gelöst: wie
> viele Möglichkeiten gibt es, 2 aus 10 Elementen
> auszuwählen. Aber klar, wenn mit Paaren "Frau + Mann"
> gemeint ist, dann sind es zwei verschiedene Mengen,
> deswegen Produktformel, oder?

Wenn nichts weiteres gesagt ist, dann gibt es insgesamt 6*4=24 unterschiedliche mögliche Paare.
>

> und bei c) ist die Lösung 9+8+7+6+5+4+3+2+1 und nicht, wie
> ich dachte, 9!. Das verstehe ich nicht ganz. Muss ich hier
> jeden Gast als eine einelementige Menge sehen=

Das ist ja schon eine kapitale Stilblüte. ;-)

Du musst einfach nur den Vorgang verstehen. Gib den 10 Personen Nummern. Nummer 1 kann wie vielen anderen Personen die Hand schütteln? Richtig, 9. Jetzt lassen wir sie/ihn das mal tun und wenden uns Person 2 zu. Diese hat Nr. 1 ja die Hand soeben geschüttelt, bleiben also 8 weitere mögliche Handshakes usw.

>

> und zu Aufgabe b) Hier kann ich mir zwar mit nem Baum
> helfen, alle Kombinationen aufzuschreiben, aber ich
> verstehe nicht, welcher Formel das entspricht. Es gibt 8
> Nummern mit 1, 7 mit 2 und 4 mit 3 am Anfang. Wie rechne
> ich das ohne Baum?

>

> Ich dachte erst, b) wäre eine Kombination mit
> Wiederholung.

Auch hier liegt keines der elementaren Modelle vor, weil die Ziffern mehrfach vorkommen. Deine Überlegung hier ist richtig und ich sehe dazu keine Alternative, zumindest keine sinnvolle.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Welche Kombin.-Formel wann?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 21.08.2014
Autor: rmix22


> a) 6 Frauen, 4 Herren. Wie viele Paare?
>  b) Wie viele 3-ziffrige Zahlen aus 1,1,1,2,2,3
>  c) 10 Gäste, jeder kann jedem einmal die Hand schütteln,
> wie viele Hände werden insgesamt geschüttelt?
>  
> Hallo!
>  
> Es gibt ja die Permutation mit/ohne Widh., die Kombination
> mit/ohne Wdh. und die Variation mit/ohne Wdh.
>  
> Im Prinzip ist mir klar, wann ich welche Formel anwenden
> muss.
>
> Permutation: Alle Elemente sind betroffen
>  
> Variation/Kombination: nur ein Teil der Elemente sind
> betroffen, wobei die Reihenfolge einmal egal und einmal
> wichtig ist.
>  
> Aber dann gibt es noch die Summen- und die Produktformel
> der Kombination. Verstehe ich richtig, dass man die immer
> dann nimmt, wenn man unterschiedliche Mengen hat? Und die
> oberen Formeln, wenn es um EINE Menge geht? Oder sind die
> in den oberen Formeln mit drin?

Ich bin mir nicht sicher, was du hier mit den Mengen meinst.
Die "Produktformel" kommt dann zum Einsatz, wenn du in einem Entscheidungsvorgang hintereinander voneinander unabhängige Teilentscheidungen zu treffen hast.
Die "Summenformel" kommt zur Anwendung, wenn du bei einem Entscheidungsvorgang die Wahl zwischen einer Reihe von einander ausschließenden Arten hast.
Ich halte es aber für möglich, dass du mit deiner Mengenvorstellung das Richtige meinst.

> Z. B. habe ich die Aufgabe a) von oben erst so gelöst: wie
> viele Möglichkeiten gibt es, 2 aus 10 Elementen
> auszuwählen. Aber klar, wenn mit Paaren "Frau + Mann"
> gemeint ist, dann sind es zwei verschiedene Mengen,
> deswegen Produktformel, oder?

Nun, Produktformel ist hier jedenfalls richtig, da die Wahl der Frau und jene des Mannes voneinander unabhängige Teilentscheidungen sind.
Falls ausschließlich Hetero-Paare zu bilden sind, solltest du 24 rausbekommen, sonst 45 (da wäre dann aber keine Unterscheidung Mann-Frau nötig). Die Frage nach der Anzahl der möglichen gleichgeschlechtlichen Paare wäre ein gutes Beispiel für die Anwendung der "Summenformel" ("6 über 2" + "4 über 2"). Aber natürlich ergibt sich die Lösung 21 auch durch Subtraktion der beiden oben genannten Zahlen. Es ist nicht unüblich, dass man beim kombinatorischen Abzählen immer wieder auf durchaus unterschiedlichen Wegen zum richtigen Ergebnis kommen kann.

>  
> und bei c) ist die Lösung 9+8+7+6+5+4+3+2+1 und nicht, wie
> ich dachte, 9!. Das verstehe ich nicht ganz. Muss ich hier
> jeden Gast als eine einelementige Menge sehen?

??
Gezählt werden sollen doch hier alle möglichen Paare bestehend aus zwei unterschiedlichen Personen.
Die Wahl EINES dieser Paare ist ein Entscheidungsvorgang und die Anzahl aller möglichen dieser Vorgänge ist gesucht.
Eine Möglichkeit ist es daher, zuerst alle Paare zu zählen, bei denen Person 1 beteiligt ist, davon gibt es augenscheinlich 9. Dann zählen wir die Paare, bei denen Person 2 beteiligt ist, Person 1 aber nicht. Davon gibt es 8. Diese beiden Entscheidungen sind offenbar ausschließend, da einmal Person 1 sicher beteiligt ist, das andere Mal aber Person 1 sicher nicht beteiligt ist. Dann geht es weiter mit allen Paaren, bei denen Person 3 beteiligt ist, Person 1 und Person 2 aber nicht, etc.

> Und wenn ich
> addieren muss, dann ist das ja die Summenformel, was
> bedeutet, dass die einzelnen Ereignisse unvereinbar sind.
> Das verstehe ich hier nicht ganz. Was bedeutet das hier?

Du kannst das mit einer illustren Runde von 10 Freunden in einem Lokal vergleichen, bei der sich hintereinander einer nach dem anderen verabschiedet und den noch verbleibenden Freunden die Hand schüttelt. Du sitzt am Nachbartisch und zählst die Handshakes mit, d.h. du addierst einfach. Der erste,  der geht, hat neun Hände zu schütteln, der vorletzte nur mehr eine und dem Letzten bleibt nur noch übrig, die offene Rechnung zu begleichen.

Das Beispiel kann man sich aber wieder auf eine Reihe von anderen Arten überlegen.

- alle 10 Gäste schütteln den jeweils anderen 9 die Hand (-> 10*9). Da wir jetzt aber jeden Handshake doppelt gezählt haben, müssen wir das Ergebnis noch halbieren (->10*9/2=45).

- Es geht doch einfach darum, auf wie viele Arten man aus 10 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge zwei auswählen kann, die dann einander die Hand schütteln. Hier greift direkt die "Formel" für Kombinationen ohne Wiederholung (-> "10 über 2" = 45).

>  
> und zu Aufgabe b) Hier kann ich mir zwar mit nem Baum
> helfen, alle Kombinationen aufzuschreiben, aber ich
> verstehe nicht, welcher Formel das entspricht. Es gibt 8
> Nummern mit 1, 7 mit 2 und 4 mit 3 am Anfang. Wie rechne
> ich das ohne Baum?
>  
> Ich dachte erst, b) wäre eine Kombination mit
> Wiederholung.

Da die Reihenfolge wesentlich ist, kann es bestenfalls eine Variation sein. Aber hier greift keine deiner oben erwähnten sechs Basisformeln. Man könnte vielleicht auch für den Fall von mehrfach, aber in begrenzter Anzahl vorkommenden Elementen, Formeln aufstellen und sich merken, aber du wirst kaum jemals eine "komplette" Formelsammlung finden, mit der jede nur denkbare Aufgabe durch stures Einsetzen von Werten gelöst werden kann.

Besser eine kleiner Satz von Basics und diese dann mit Hirn und Hausverstand "on the fly" kombinieren als sich mit einer Unzahl von Formeln für Spezialfälle zu belasten.

Solange die Anzahlen, um die es geht, noch klein und übersichtlich sind, kann man natürlich auch durch simples Anschreiben aller Möglichkeiten (sei es mit Baum oder auch ohne) zur Lösung gelangen.

Im Falle deiner Aufgabe b) wäre es auch möglich, die durchaus überschaubare Anzahl von nicht möglichen Zahlen von der Gesamtanzahl aller dreistelligen Zahlen mit den Ziffern 1, 2 und 3 zu subtrahieren.
Es gibt insgesamt [mm] 3^3=27 [/mm] solcher Zahlen (Variation mit Wiederholung).
Allerdings habe wir nur zweimal die 2, d.h. wir müssen die Anzahl aller Zahlen mit mehr als zwei 2en abziehen. Da gibt es offenbar nur die Zahl 222.
Außerdem müssen wir noch die Anzahl der Zahlen mit drei 3en (da gibt es wieder nur 333) und jene der Zahlen mit zwei 3en subtrahieren.
Bei einer Zahl mit zwei 3en gibt es eine Stelle (auf 3 Arten zu wählen), welche die Ziffer 1 oder 2 enthält (2 Möglichkeiten).
Also ist die Lösung von b) [mm] $3^3 [/mm] - 1 - 1 - 3*2 = 19$.

Gruß RMix


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Welche Kombin.-Formel wann?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Do 21.08.2014
Autor: SchmeterSchmeter

danke für die Antworten!

D. h. ich hätte die Probleme schon irgendwie wieder auf die Formeln von oben zurückführen können... klar, Kochrezepte gibt es nicht, aber irgendwie muss man das je berechnen können.

Man kann ja schlecht für Probleme wie bei b) immer einen Baum malen.... angenommen es gäbe 400maldie 1, 350 mal die 2 und 300 mal die 3... das wöre ja Quatsch.

Und könntet ihr mir noch helfen, die Formel für Kombinationen MIT Wiederholung zu verstehen?

Ich habe mir mal das hier durchgelesen:

http://www.matheboard.de/archive/31499/thread.html
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/182085,0.html

aber ich kapiere nicht, warum man diese "Trennzeichen" mitzählt...


Bezug
                        
Bezug
Welche Kombin.-Formel wann?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Do 21.08.2014
Autor: rmix22


> danke für die Antworten!
>  
> D. h. ich hätte die Probleme schon irgendwie wieder auf
> die Formeln von oben zurückführen können... klar,

Nein, das ist leider nicht immer möglich und deine Aufgabe b) ist ein gutes Beispiel dafür. Aber die Formeln sind schon ein gutes Rüstzeug für viele Aufgabenstellungen.

> Kochrezepte gibt es nicht, aber irgendwie muss man das je
> berechnen können.

Irgendwie schon, aber nicht notwendigerweise ausschließlich mit den sechs Basics.
Vor Kurzem hatten wir hier einen Thread der sehr gut zeigte, dass eine recht einfach und elementar klingende Fragestellung schnell auf recht komplexe und mathematisch ansprechende Theorien führen kann. Siehe hier

>  
> Man kann ja schlecht für Probleme wie bei b) immer einen
> Baum malen.... angenommen es gäbe 400maldie 1, 350 mal die
> 2 und 300 mal die 3... das wöre ja Quatsch.

Nein, das wäre sehr schön - jedenfalls wenn es bei dreistelligen Zahlen bleibt. Wenn jede Ziffer da mindestens dreimal vorkommt haben wir eine simple Variation mit Wiederholung. Wenn du aus deinen Ziffern aber zB 500-stellige zahlen bilden möchtest - dann viel Spaß beim Abzählen ;-)

>  
> Und könntet ihr mir noch helfen, die Formel für
> Kombinationen MIT Wiederholung zu verstehen?

Sehr oft genau diejenige von den sechs, welche im Schulunterricht gerne ohne Herleitung serviert wird.

Das k-malige Ziehen mit Zurücklegen aus n Elementen bedingt, dass man k-1 mal ein Element zurück legt. Daher ist es sinnvoll, von Anfang an diesen n Elementen in Gedanken k-1 Elemente hinzuzufügen und dann daraus k Elemente ohne Zurücklegen zu ziehen. Mit diesem Gedankengang (der, das ist mir bewusst, noch keine schlüssige Herleitung ist) kommt man dann unmittelbar auf "(n+k-1) über k".

>  
> Ich habe mir mal das hier durchgelesen:
>  
> http://www.matheboard.de/archive/31499/thread.html
>  http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/182085,0.html
>  
> aber ich kapiere nicht, warum man diese "Trennzeichen"
> mitzählt...
>  

Vielleicht hilft es, auch hier nachzulesen
[]Äpfel und Kinder
hier vor fast 8 Jahren
[]Wikipedia
[]Helmut-Schmidt-Uni

Gruß RMix



Bezug
        
Bezug
Welche Kombin.-Formel wann?: Präzision des Ausdrucks
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Do 21.08.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> a) 6 Frauen, 4 Herren. Wie viele Paare?
>  b) Wie viele 3-ziffrige Zahlen aus 1,1,1,2,2,3
>  c) 10 Gäste, jeder kann jedem einmal die Hand schütteln,
> wie viele Hände werden insgesamt geschüttelt?


Hallo SchmeterSchmeter

(soll das irgendwas mit "schmettern" zu tun haben ...?)

       [willkommenmr]

Ich denke, dass du diese Aufgaben allzu locker wieder-
gegeben hast, und ich vermute sehr, dass dies nicht die
Aufgabenstellungen sind, wie du sie erhalten hast.

Zu (a):  Was soll da unter einem "Paar" verstanden werden ?
(es ist z.B. heute mehr und mehr "in", dass sich auch zwei
Männer oder zwei Frauen als ein solches bezeichnen ...)

Zu (c): Jeder Gast hat genau 2 Hände. Falls jeder zu den
Begrüßungen nur eine (wahrscheinlich die rechte) benützt
und mindestens einen anderen Gast begrüßt, werden
insgesamt genau 10 Hände geschüttelt !

Fasse meine Bemerkungen bitte nicht als pingelig auf,
denn in der Kombinatorik kommt es eben wirklich sehr
auf präzise und vollständige Ausdrucksweise an !

LG ,   Al-Chwarizmi


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